中档题保分练(二)1．(2018·临沂模拟)在△ABC中，已知B＝，AC＝，cosC＝.(1)求BC；(2)设D是AB边中点，求CD.解析：(1)∵cosC＝且0＜C＜π，∴sinC＝.∵A＋B＋C＝π，B＝，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴BC＝＝3.(2)∵D为AB边中点，∴CD＝(CA＋CB)，∴|CD|2＝(CA＋CB)2＝13，即CD＝.2．(2018·惠州模拟)如图，在四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．解析：(1)证明：取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，所以DE＝CB＝2，所以AD＝＝，因为侧面SAB为等边三角形，AB＝2，所以SA＝SB＝AB＝2，且SE＝，又因为SD＝1，所以SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2，所以SD⊥SA，SD⊥SE.又SA∩SE＝S，所以SD⊥平面SAB.(2)过点S作SG⊥DE于点G，因为AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又AB⊂平面ABCD，由平面与平面垂直的性质，知SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG，得1×＝2SG，所以SG＝.过点A作AH⊥平面SBC于H，连接BH，则∠ABH即为AB与平面SBC所成的角，因为CD∥AB，AB⊥平面SDE，所以CD⊥平面SDE，又SD⊂平面SDE，所以CD⊥SD.在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，求得SC＝.在△SBC中，SB＝BC＝2，SC＝，所以S△SBC＝××＝，由VASBC＝VSABC，得S△SBC·AH＝S△ABC·SG，即××AH＝××2×2×，解得AH＝，所以sin∠ABH＝＝，故AB与平面SBC所成角的正弦值为.3．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ζ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ζ的分布列与数学期望．解析：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1,2，…，12)．依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.即此人到达当日空气重度污染的概率为.(2)由题意可知，ζ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ζ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，P(ζ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，P(ζ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，P(ζ＝1)＝1－P(ζ＝0)－P(ζ＝2)－P(ζ＝3)＝1－－－＝，(或P(ζ＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A10)＝)所以ζ的分布列为ζ0123P故ζ的期望E(ζ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ＝2asinθ，直线l的参数方程是(t为参数)．(1)若a＝2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；(2)若直线l被圆C截得的弦长为2，求a的值．解析：(1)由ρ2＝4ρsinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，将直线l的参数方程化为普通方程，得y＝－(x－2)，令y＝0，得x＝2，即点M的坐标为(2,0)．又圆C的圆心坐标为(0,2)，半径r＝2，则|MC|＝2，所以|MN|的最大值为|MC|＋r＝2＋2.(2)因为圆C：x2＋(y－a)2＝a2，直线l：4x＋3y－4a＝0，所以圆心C到直线l的距离d＝＝，所以2＝2，即|a|＝2，解得a＝±.(选修4－5：不等式选讲)设a、b、c均为正数并满足a＋b＋c＝3.(1)证明：ab＋bc＋ca≤3；(2)求＋＋的最大值．解析：(1)证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，相加可得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.又9＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，所以ab＋bc＋ac≤3.(2)由柯西不等式得[12＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2，即(＋＋)2≤(1＋2＋3)(a＋b＋1＋c＋1)＝30，所以＋＋≤，当a∶1＝(b＋1)∶2＝(c＋1)∶3时等号成立，解得：a＝，b＝，c＝，所以＋＋的最大值为.
