第1讲三角函数的化简与求值1.(2018·孝义模拟)sin2040°＝______．答案：－解析：sin2040°＝sin(6×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin120°＝－sin60°＝－.2.(2018·洛阳模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cosα－sinα＝________．答案：解析：角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cosα＝＝－，sinα＝＝－，则cosα－sinα＝－＋＝.3.若cosα＝－，且α是第三象限角，则＝________．答案：－解析：由α是第三象限角，cosα＝－，可得sinα＝－.tan＝＝＝＝＝－3，所以＝－.4.(2017·苏北四市一模)若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝，则sin(α－β)的值为________．答案：－解析：因为tanβ＝2tanα，所以＝，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.5.(2018·泰州中学学情调研)已知α∈(0，π)，sin(α＋)＝－，则tanα＝______．答案：－解析：因为α∈(0，π)，sin＝－，所以α＋∈，所以cos＝－＝－，所以tan＝＝＝，所以tanα＝－.6.已知α是第三象限角，且sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，则sin2α＝________．答案：1解析：由sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，得tan2α＋tanα－2＝0，解得tanα＝1或tanα＝－2(舍去)．sin2α＝2sinαcosα＝＝＝1.7.(2018·苏州期中调研)已知tan(α－)＝2，则cos2α＝________．答案：－解析：cos2α＝sin＝2sin·cos＝＝＝－.8.(2018·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．答案：解析：根据tan(α＋β)＝(*)，将条件中的式子展开并代入(*)式，可得tan(α＋β)＝－1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.9.若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β＝________．答案：解析：因为α∈[，π]，所以2α∈[，2π]．又sin2α＝，故2α∈[，π]，α∈[，]，所以cos2α＝－.又β∈[π，]，故β－α∈[，]，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×(－)－×＝，且α＋β∈[，2π]，故α＋β＝.10.(2018·启东调研)若sin(x＋y)＝，tanx＋2tany＝0，则sin(x－y)＝________．解析：将化为得cosxsiny＝－，sinxcosy＝，sin(x－y)＝sinxcosy－cosxsiny＝－＝1.11.已知方程x2＋4x＋3＝0的两个根分别为tan(α－β)，tanβ.(1)求tanα的值；(2)求的值．解：(1)由方程根与系数的关系，得故tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝2.(2)＝＝＝－5.12.已知α为锐角，cos(α＋)＝.(1)求tan(α＋)的值；(2)求sin(2α＋)的值．解：(1)因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，所以sin(α＋)＝＝，所以tan(α＋)＝＝2.(2)因为sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]＝2cos2(α＋)－1＝－，所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝.13.已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且AB＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若tan＝，求cosα及cosβ的值．解：(1)由AB＝，得＝，得2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，得cos(α－β)＝.(2)∵tan＝，∴cosα＝＝＝，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.当sin(α－β)＝时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝；当sin(α－β)＝－时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝.
