高考数学 命题热点全覆盖 专题10 三角化简的技巧 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题10三角化简的技巧一．三角化简的技巧1.角的范围问题2.角的一致性问题3.三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7.角的范围对函数性质的影响8.用已知角表示未知角问题二．三角化简方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.（三）用已知角表示未知角例3．已知，，且，则（）A．-2B．2C．D．【答案】A【分析】观察角之间的关系，拆角，，利用差角公式展开，可以求得.【解析】因为sin，，所以；又所以，，，故选A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习1．已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos，则cos2α的值为A．B．C．D．【答案】D【分析】在锐角三角形中分析可得sinB－cosA>0，cosB－sinA<0，得α＋为第四象限角，由的展开即可得，利用余弦的二倍角公式即可得解.【点睛】给值求值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．练习2．若,,,求=()A．B．C．D．【答案】C【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，进而由诱导公式和和差角的公式可得：，代值计算可得．【解析】，，，又，，，，故选C.练习3．已知，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】 ，∴，∴，∴.∴.选A.【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤，节约解题时间练习4．设，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，所以，故选D。练习5．若，则tan2α=（）A.﹣3B.3C.D.【答案】D【解析】因为，所以，则；故选D.练习6.已知，，则=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，故选练习7.已知，，且，,则的值为________．【答案】【解析】 <α<π，∴π<2α<2π. －<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.又－<β<0且sinβ＝，∴cosβ＝，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.又，∴sinα＝.（四）.降幂公式的灵活应用例4.已知是第一象限的角，若，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，是第一象限的角，，故选C.【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下来练习1．已知，则（）A．B．-C．D．【答案】A【解析】,又∴故选：A练习2．在中，若，则下面等式一定成立的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，，，故选练习3．已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sinx的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；【详解】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin2x+cos2x﹣1sin（2x）﹣1．①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．②当x∈[]时，2x∈[，]，则sinx在[]上是减函数，结论正确．③因为f（）＝﹣1，得到函数f（x）图象的一个对称中心为（，﹣1），结论不正确．④函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有①③，故选：B．练习4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，利用倍角公式可得，解得，可得．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，进而得到的最大值．【详解】 ，∴，化为，解得， ，∴．由余弦定理可得，∴，当且仅当时取等号．∴．∴．的面积的最大值为．故选：A．（五）特殊角的替换作用例5.等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选C。练...