平面向量基本定理及向量坐标运算1．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为()A．(6,9)B．(5,4)C．(7,14)D．(9,24)2．原点O在正六边形ABCDEF的中心，OA＝(－1，－)，OB＝(1，－)，则OC等于()A．(2,0)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(0，)3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.5．[广东卷]已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.B.C．1D．26．已知O为原点，A、B是两定点，OA＝a，OB＝b，且点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR等于()A．a－bB．2(a－b)C．2(b－a)D．b－a7．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC＝()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.OA－OBD．－OA＋OB8．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为()A．2a－bB．－a＋2bC．a－2bD．a＋2b9．已知AB＝(2，－1)，AC＝(－4,1)，则BC的坐标为________．10．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．11．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中所有正确结论的序号为________．12．(13分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|(0<θ<π)，求θ的值．13．(12分)如图K24－1，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b，以a、b为基底表示OM.答案解析【基础热身】1．B[解析]＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6,9)，故OB＝OA＋AB＝(5,4)，故点B坐标为(5,4)．2．A[解析]∵正六边形中，OABC为平行四边形，∴OB＝OA＋OC，∴OC＝OB－OA＝(2,0)．3．B[解析]由计算可得c＝(4,2)＝3a－b，故选B.4．－[解析]ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于ma＋nb与a－2b共线，则有＝，∴n－2m＝12m＋8n，∴＝－.【能力提升】5．B[解析]因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝.6．C[解析]设OA＝a＝(x1，y1)，OB＝b＝(x2，y2)，则A(x1，y1)，B(x2，y2)．设P(x，y)，则由中点坐标公式可得Q(2x1－x,2y1－y)，R(2x2－2x1＋x,2y2－2y1＋y)．∴PR＝OR－OP＝(2x2－2x1,2y2－2y1)，＝2(x2，y2)－2(x1，y1)，即PR＝2(b－a)．7．A[解析]∵2AC＋CB＝0，∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＋OB－2OA＝0，∴OC＝2OA－OB.8．C[解析]设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，∴解得∴c＝a－2b.9．(－6,2)[解析]BC＝AC－AB＝(－6,2)．10．(－4，－2)[解析]因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)．由＝2，得＝2⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．11．①③④[解析]①∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，∴OC＝－(2，－1)＝－BA，又OC，BA不共线，∴OC∥BA，∴①正确；②∵AB＋BC＝AC≠CA，∴②错误；③∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；④∵AC＝(－4,0)，OB－2OA＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，∴④正确．12．[解答](1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－.又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.【难点突破】13．[解答]设OM＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝b－a.因为A、M、D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1，又CM＝OM－OC＝a＋nb，CB＝OB－OC＝－a＋b，因为C、M、B三点共线，所以＝，即4m＋n＝1，由解得∴OM＝a＋b.
