专题研究平面向量的综合应用1．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|答案A解析f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b，故a·b＝0，即a⊥b，故应选A.2．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则当(a＋b)2＝(a－b)2时，该平行四边形为()A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不正确答案B解析在平行四边形中，a＋b＝AB＋AD＝AC，a－b＝AB－AD＝DB， |a＋b|＝|a－b|，∴|AC|＝|DB|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为()A．1B.C.D．2答案B解析 a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．∴|a－b|＝＝.∴|a－b|最大值为.故选B.4．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且|AB|＝，则AC·CB等于()A．－B.C．0D.答案A解析由于弦长|AB|＝与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB＝－··cos60°＝－.5．(2017·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒|AB＋AC|2＝|AB－AC|2⇒AB·AC＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.6．(2015·山东，理)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2答案D解析在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.7．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1答案B解析如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建1立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－，选B.8．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案D解析因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)．又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a2＝c2，得|a|＝|c|.同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|.故△ABC为等边三角形．9．(2018·天津模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.答案B解析如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(1，)，∴AF＝(1，)，BC＝(，－)．∴AF·BC＝－＝，选B.10．(2018·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA与OB关于y轴对称，向量a＝(1，0)，则满足不等式OA2＋a·AB≤0的点A(x，y)的集合用阴影表示为()答案B解析 A(x，y)，向量OA与OB关于y轴对称，∴B(－x，y)，AB＝(－2x，0)． OA2＋a·AB≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B.11．(2016·四川)在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是()A.B.C.D.答案B解析由|DA|＝|DB|＝|DC|知，D为△ABC的外心．由DA·DB＝DB·DC＝DC·DA知，D为△ABC的垂心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以|BM|max＝|BE|＋＝，则|BM|max2＝，选B.212．(2015·山东，文)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________．答案解析在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|P...
