课时作业31数列的综合应用1．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.2．(2014·山东卷)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解析：(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)．所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝3．(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解析：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数1n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.4．(2014·青岛模拟)已知函数f(x)＝，若数列{an}(n∈N*)满足：a1＝1，an＋1＝f(an)．(1)证明数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式．(2)设数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.解析：(1)因为f(x)＝，所以an＋1＝f(an)＝＝，所以－＝1，{}是等差数列，an＝.(2)cn＝＝＝n·2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，所以2Sn－Sn＝Sn＝－2－22－23…－2n＋n·2n＋1＝－＋n·2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.2
