复数问题考点例析考点1考查复数四则运算例1计算.解:－====－i=i－i=0.点评:计算（a+bi）n时，一般按乘法法则进行计算.对于复数1±i,计算它的n（n为大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i的平方；对于复数±±i,计算它的n（n为大于或等于3的自然数）次方时,常先计算它的立方.考点2考查复数的有关概念例2化已知复数z=+（a－5a－6）i（aR）,试求实数a分别取什么值时,z分别为（1）实数,（2）虚数,（3）纯虚数?解:（1）当z为实数时,则∴∴当a=6时,z为实数.（2）当z为虚数时,则有有意义.∴∴a≠±1且a≠6.∴当a（－∞,－1）∪（－1,1）∪（1,6）∪（6,+∞）时,z为虚数.（3）当z为纯虚数时,则有∴∴不存在实数a,使z为纯虚数.点评:由于aR,所以复数z的实部与虚部分别为与a2－5a－6.（1）求解第（1）小题时,仅注重虚部等于零是不够的,还需考虑它的实部是否有意义,否则本小题将出现增解;（2）求解第（2）小题时,同样要注意实部有意义的问题;（3）求解第（3）小题时,既要考虑实部为0（当然也要考虑分母不为0）,还需考虑虚部不为0,两者缺一不可.考点3考查复数的几何意义用心爱心专心例3已知aR,问复数z=（a2－2a+4）－（a2－2a+2）i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?解:由a2－2a+4=（a－1）2+3≥3,－（a2－2a+2）=－（a－1）2－1≤－1,得z的实部为正数,z的虚部为负数,∴复数z的对应点在第四象限.设z=x+yi（x、yR）,则消去a2－2a,得y=－x+2（x≥3）.∴复数z对应点的轨迹是一条射线,方程为y=－i+2（x≥3）.点评:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关.所以本题的关键是判断（a2－2a+4）与－（a2－2a+2）的符号.求复数z的对应点的轨迹问题,首先把z表示成z=x+yi（x、yR）的形式,然后寻求x、y之间的关系,但要注意参数限定的条件.此例是复数与复平面上点的对应概念的练习,学生容易出现的问题是对实部a2－2a+4及虚部－（a2－2a+2）这两个二次三项式,不会判断正负,未意识到是确定函数值域的问题;对于求复数z的轨迹方程问题,关键是要设z=x+yi（x、yR）,转化为求动点（x,y）的轨迹方程.初学时,在这里思维容易混乱,此外在消参数a时,把a2－2a看成一个整体,也是值得借鉴的方法.用心爱心专心
