第二节平面向量基本定理及坐标表示A级·基础过关|固根基|1.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于()A．(6，3)B．(－2，－6)C．(2，1)D．(7，2)解析：选B2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．2．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，则c可用向量a，b表示为()A．c＝a＋bB．c＝－a－bC．c＝a＋bD．c＝a－b解析：选A设向量c＝xa＋yb，易知∴∴c＝a＋b.故选A.3.已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A如图所示，建立平面直角坐标系xAy，则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.4．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝()A．0B.C．－2D．－3解析：选C由题意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t，2＋2t)．因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，故选C.5．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，OB＝(1，3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为()A.B.1C.D.解析：选A易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC，知所以所以E.6．(一题多解)(2019届合肥市第一次质检)设平面向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.B．(－6，8)C.D．(6，－8)解析：选D解法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t＞0)．又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.解法二：与a方向相反的单位向量为，令b＝t(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故选D.7．(2019届唐山模拟)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λAB－μAC(λ，μ∈R)，则μ－λ＝()A．－B．1C.D．－3解析：选AAM＝λAB－μAC＝λAB－μ(AB＋AD)＝(λ－μ)AB－μAD＝2(λ－μ)AE－3μAF，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以μ－λ＝－，故选A.8．(2019届厦门模拟)已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为()A．2B.C．3D．4解析：选C OA·OB＝0，∴OA⊥OB.以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则OA＝(1，0)，OB＝(0，)，∴OC＝mOA＋nOB＝(m，n)． tan30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则向量BD的坐标为________．解析： BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)10．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则实数λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以即x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－11．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.2其中正确命题的个数为________．解析：由BC＝a，CA＝b，得AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．所以正确命题个数为3.答案：312．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝________．解析：解法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xAy，如图所示，设正方形的边长为1，易得A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，M1，，N，1，AM＝，BN＝，AC＝(1，1)．因为AC＝λAM＋μBN＝＝(1，1)，所以解得所以λ＋μ＝.解法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝AB＋AD，又AC＝AB＋AD，所以解得所以λ＋μ＝.答案：B...
