第3节二项式定理[A级基础巩固]1．已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A.B．－C．7D．－7解析：由T4＝Cx4＝5，得x＝－.答案：B2．(2020·合肥八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.答案：A3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC＝30.答案：C4．(2020·佛山质检)若的展开式的常数项是60，则a的值为()A．4B．±4C．2D．±2解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6－r·＝(－1)ra6－r·Cx6－r，令6－r＝0，解得r＝4.所以常数项为(－1)4a2C＝15a2＝60，则a＝±2.答案：D5．C＋2C＋4C＋…＋2n－1C等于()A．3nB．2·3nC.－1D.解析：C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(C＋2C＋22C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.答案：D6．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析：因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.答案：C7．(2020·青岛质检)在(n∈N*)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则展开式中常数项是()A．180B．120C．90D．45解析：依题意，展开式共11项，所以n＝10.则展开式的通项Tr＋1＝C·2r·x5－.令5－＝0，所以r＝2.所以展开式中的常数项T3＝C·22＝180.答案：A8．(2020·衡水中学调研)(1＋x2)·的展开式中，常数项为()A．－15B．16C．15D．－16解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C＝C(－1)r·x－r，令－r＝0，得r＝0；令－r＝－2，得r＝2.所以展开式的常数项为C(－1)0＋C(－1)2＝16.答案：B9．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析：Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.所以Ca3b3＝20，即ab＝1.所以a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.答案：210．已知幂函数y＝xa的图象过点(3，9)，则的展开式中x的系数为________．解析：由幂函数的图象过点(3，9)，可得a＝2.则展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C·(－)r＝(－1)rC·28－rxr－8，由r－8＝1，得r＝6，故含x的项的系数为C×22×(－1)6＝112.答案：11211．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．解析：a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C·C·2＋C·C·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.答案：16412.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析：令x＝1，得展开式各项系数的和为(1＋a)·(2－1)5＝2，所以a＝1.因为二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r，所以展开式中的常数项为x·C(－1)3·22·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40.答案：40[B级能力提升]13．(一题多解)(2020·广州模拟)(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A．5B．10C．15D．20解析：法一因为(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，所以(2－1)(1＋a)5＝32，所以a＝1，因为(x＋1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·x5－r，所以原多项式的展开式中x4的系数是2×C＋(－1)×C＝5.法二因为(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，所以(2－1)·(1＋a)5＝32，所以a＝1，因为(x＋1)5＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1，所以(2－x3)(x＋a)5的展开式中x4的系数是2×5＋(－1)×5＝5.答案：A14．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.答案：C15．(2019·江苏卷节选)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知a＝2a2a4.则n＝________．解析：因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，所以a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝.因为a＝2a2a4，所以＝2××.解得n＝5.答案：5[C级素养升华]16．(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是5.答案：165
