向量的概念及表示、向量的线性运算知识精讲一.本周教学内容：向量的概念及表示、向量的线性运算二.本周教学目标1、了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。2、理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或判断出与某一已知向量相等的向量。3、理解向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。4、了解向量的减法，会作两个向量的减向量。5、理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。三.本周知识要点（一）向量的概念及表示1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||。3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的。②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。4、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行。向量、、平行，记作∥∥。5、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。（1）向量与相等，记作＝；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。7、相反向量把与向量长度相等方向相反的向量叫做的相反向量，记作－规定：的相反向量仍是零向量，对任意向量有－（－）＝（二）向量的加法1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。2、作两向量的加法：如图，已知向量、。在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA特殊情况：对于零向量与任一向量，有探究：（1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，＋的方向不同向，且|＋|<||＋||；（3）当与同向时，则＋、、同向，且|＋|＝||＋||，当与反向时，若||>||，则＋的方向与相同，且|＋|＝||－||；若||<||，则＋的方向与相同，且|＋|＝||－||。3、向量加法的交换律：＋＝＋4、向量加法的结合律：(＋)＋＝＋(＋)（三）向量的减法1、向量的减法的定义：若＋x＝，则x叫做与的差，记作2、求作差向量：已知向量、，求作向量 ()＋＝＋()＋＝＋＝减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作＝，＝，则＝即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。注意：1表示差向量，“箭头”指向被减向量（四）向量的数乘1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|＝|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ＝0时λ＝2、运算定律结合律：λ(μ)＝(λμ)分配律：(λ＋μ)＝λ＋μλ(＋)＝λ＋λ3、向量共线定理如果有一个实数λ，使＝λ(≠0)，那么与是共线向量；反之，如果与(≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得＝λ4、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使＝λ1＋λ2说明：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一。λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。【典型例题】例1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反...
