复数的妙用例说我们知道，复数虽然具有相对独立性，但复数的代数形式、几何意义却构建了代数与几何之间的“局域网”，它为我们提供了新的解题途径。本文举例说明，供同学们参考。l.利用复数求函数值域例1求函数22()11fxxxxx=++--+(x∈R)的值域。解：221313()()()2424fxxx=++--+(x∈R)令z1＝(x＋12)＋32i，z2＝(x－12)＋32i，则f(x)＝|z1|－|z2|因||z1|－|z2|≤|z1－z2|＝1(*)又复数z1，z2在复平面上对应的点z1、z2在平行于实轴的直线y＝32上，从而z1、z2和原点O不可能共线，即(*)式不能取等号。则||z1|－|z2|＜1，即所求函数的值域为(－1，1)点评：复数模的不等式||z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|为我们解有关实数问题提供了模型，特别是解有关不等式极值问题较为方便，其中应注意取等号的条件：①当且仅当z1＝kz2(k＞0)时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，|z1－z2|＝||z1|－|z2|；②当且仅当z1＝kz2(k＜0＝时，|z1＋z2|＝||z1|－|z2||，|z1－z2|＝|z1|＋|z2|。2.利用复数证明不等式例2设a、b、x、y都是实数，求证：2222()()()xaybxay-+-+-++222222()2xybxyab+-++³+证明：设1()()zxaybi=----，则221()()zxayb=-+-2()zxayi=--+，则222()zxay=-+3()zxybi=--，则223()zxyb=+-4zxyi=+，则224zxy=+用心爱心专心oyxQP又12342()zzzzabi+++=+\2212342zzzzab+++=+由模的性质可知12341234zzzzzzzz+++³+++\2222()()()xaybxay-+-+-++222222()2xybxyab+-++³+点评：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。3。利用复数解解析几何题例3椭圆22221xyab+=和直线1AxBy+=（,0AB¹）交于P、Q两点，求直线OP和OQ相互垂直的条件。解析：设P、Q两点在X轴上的坐标分别为,ab，因P、Q在直线1AxBy+=上，利用复数表示有1AOPiB�aa-=+，1AOQiB�bb-=+若要OPOQ^，知必须OPOQ��应为纯虚数。()()()()22221111111AAAAAiiBBOPBAOQAiBB��baabbababbaaaaéù------êú+++êúëû==éù-æö-+êú÷ç+÷çêú÷çèøêúëû据其实部为零，有()()2110AABbaab--+=即：()()2210ABAabab+-++=（1）再由222211AxByxyabì+=ïïïïíï+=ïïïî得()()222222222210AaBbxAaxabB+-+-=（2）()22222222222212,abBAaAaBbAaBbabab-+==++\代入（1）得()2222220ababAB+-+=（3）因（2）要有两个不同的实根，须判别式0D>即222210aAbB+->（4）以上条件（3）（4）即为所求的条件。用心爱心专心点评：解析几何是数与形的“结合体”，而复数也具有几何形式，因此它们有着必然的联系。利用复数来解解几问题，给人以耳目一新的感觉。用心爱心专心
