【优化探究】2017届高考数学一轮复习第九章第三节二项式定理课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．若n的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为()A．－84B．84C．－36D．36解析：由二项式系数之和为2n＝512，得n＝9.又Tr＋1＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝0，得r＝6，故常数项为T7＝84.故选B.答案：B2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1解析：(1＋x)5中含x与x2的项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析：∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3.答案：B4．(2016·西城一模)若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A．21B．－21C．7D．－7解析：∵2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·r＝C37－r(－1)rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系数为C37－6(－1)6＝21，故选A.答案：A5．(2016·广州调研)已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为()A．10B．－10C．80D．－80解析：a＝2cosdx＝2sin＝－2，展开式的通项为Tr＋1＝C(－2)rx10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，T4＝C(－2)3x＝－80x.答案：D6.6的展开式中常数项为________．解析：6的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝kCx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，故展开式中常数项为－.答案：－7．(2015·高考天津卷)在6的展开式中，x2的系数为________．解析：二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r·rx－r＝Crx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，故x2的系数为C2＝.答案：8．若(1－2x)2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015，则＋＋…＋＝________.解析：当x0＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋∴0＝1＋＋＋…＋∴＋＋…＋＝－1答案：－19．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值．解：5展开式的通项Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C·＝16，又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意，得2n＝16，∴n＝4.∴(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)2＝54，∴a＝.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，∴原式能被31整除．(2)S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2.∵C×98－C×97＋…＋C是整数，∴S被9除的余数为7.B组高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2B.C．1D.解析：Tr＋1＝C·(2x)7－r·r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10解析：在(1＋x)6的展开式中，含x2的项为T3＝C·x2＝15x2，故在x(1＋x)6的展开式中，含x3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．解析：由题意得Tr＋1＝C()4－r(－1)r＝(－1)rC·x，令＝1，得r＝2，所以所求系数为(－1)2C＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.解析：展开式通项为Tr＋1＝C·()5－rr＝C(－1)rx－r.令－r＝0，得r＝3，当r＝3时，T4＝C(－1)3＝－10.故A＝－10.答案：－10
