36直线与圆锥曲线问题1．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM＝2AP，NP·AM＝0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线y＝kx＋与(1)中所求点N的轨迹E交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤OF·OH≤，求k2的取值范围．解(1)如图所示，连结NA.由AM＝2AP，NP·AM＝0，可知NP所在直线为线段AM的垂直平分线，所以NA＝NM，所以NC＋NA＝NC＋NM＝2>2＝CA，所以动点N的轨迹是以C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，即a＝，c＝1，b＝1.故曲线E的方程为＋y2＝1.(2)设F(x1，y1)，H(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2＋4kx＋2k2＝0，Δ＝8k2>0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝，所以OF·OH＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋k2＋1＝－＋k2＋1＝.由≤OF·OH≤，得≤≤，解得≤k2≤1.2．(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值．解(1)依题意知＝，c>0，解得c＝1.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由y＝x2得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义知AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，∴y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，∴AF·BF＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1＝y＋(y0＋2)2－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋，∴当y0＝－时，AF·BF取得最小值，且最小值为.3．(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，所以AB＝2＝2.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.所以PD＝.设△ABD的面积为S，则S＝·AB·PD＝，所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.4．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x－y＋＝0相切．(1)求双曲线E的方程；(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FP·FQ为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知＝a，∴a＝.又 2c＝4，∴c＝2，∴b＝＝1.∴双曲线E的方程为－y2＝1.(2)当直线为y＝0时，则P(－，0)，Q(，0)，F(－2,0)，∴FP·FQ＝(－＋2,0)·(＋2,0)＝1.当直线不为y＝0时，可设l：x＝ty＋m(t≠±)代入E：－y2＝1，整理得(t2－3)y2＋2mty＋m2－3＝0(t≠±)．(*)由Δ>0得m2＋t2>3.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1＋y2＝－，y1y2＝，∴FP·FQ＝(ty1＋m＋2，y1)·(ty2＋m＋2，y2)＝(t2＋1)y1y2＋t(m＋2)(y1＋y2)＋(m＋2)2＝.当且仅当2m2＋12m＋15＝3时，FP·FQ为定值，解得m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)．综上，过定点M(－3－，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使FP·FQ＝1为定值．5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
