第2讲椭圆、双曲线、抛物线A级基础通关一、选择题1．(2019·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝()A.B．4C．2D.解析：由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，所以c2＝a2＋1.所以5＝e2＝＝＝1＋.结合a＞0，解得a＝.答案：D2．抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(x0，2)，若点M到焦点F的距离|MF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝4x或y2＝8x解析：因为点M(x0，2)在y2＝2px上，所以8＝2px0，得x0＝.又|MF|＝3，得＋＝3，解得p＝2或p＝4.所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝8x.答案：D3．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：不妨设a＞0，由焦点F(2，0)，知c＝2.所以a2＝4＋c2＝8，则a＝2.因此离心率e＝＝＝.答案：C4．(2019·长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则＝()A.B.C.D.解析：易知双曲线C的一条渐近线方程为ax－by＝0.又渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，所以＝1，则(2a－b)2＝a2＋b2.所以3a＝4b，因此＝.答案：B5．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.解析：设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设PQ与OF交于点M，连接OP，如图所示．则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2·＝a2，故＝，离心率e＝.答案：A二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，则9－＝1(b＞0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，因此双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x7．(2019·珠海调研)已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为________．解析：由已知圆心在OF的中垂线上，故圆心到准线的距离为p，所以p＝3，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.答案：y2＝8x8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．答案：(3，)三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：2|FP|＝|FA|＋|FB|.证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.由题设得0
