每日一题规范练(第四周)[题目1](2019·合肥质检)已知函数f(x)＝cos2x＋sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，f(α)＝，求cos2α.解：(1)因为f(x)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)由f(α)＝可得sin＝.因为α∈，所以2α＋∈.又0＜sin＝＜，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以cos2α＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝.[题目2]若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＞0，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜m恒成立，m∈Z，求m的最小值．解：(1)当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，则(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，所以an＝(－1)n－1或an＝n.(2)因为an＞0，所以an＝n.所以bn＝＝＝2.则Tn＝2[＋＋＋…＋]＝3－＜3.又m∈Z，所以mmin＝3.[题目3]艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数y/万人34.338.343.353.857.765.471.885(1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；(2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；(3)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：≈6.48；yi＝449.6，xiyi＝2319.5,＝46.2，参考公式：相关系数r＝.回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx解：画出的折线图如图所示.(2)由统计表，x＝4.5,y＝56.2所以≈296.3，×46.2≈299.376,所以r＝≈0.99.说明y与x的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系．(3)因为b＝＝≈7.05，a＝y－bx＝56.2－7.05×4.5≈24.48，所以y＝7.05x＋24.48.当x＝10时，y＝7.05×10＋24.48＝94.98.所以预测2020年我国艾滋病感染累积人数为94.98万人．[题目4]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P(x0，3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过点A(a，0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，设切点为N.(1)求抛物线C的标准方程；(2)证明：以FN为直径的圆过点A.(1)解：由题知，|PF|＝yP＋，所以4＝3＋，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)证明：设切线AN的方程为y＝k(x－a)，k≠0，联立消去y可得x2－4kx＋4ka＝0，由题意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k，所以切点N(2a，a2)．又F(0，1)，A(a，0)，所以AF＝(－a，1)，AN＝(a，a2)．因此AF·AN＝(－a，1)·(a，a2)＝0.所以AF⊥AN，即∠FAN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.[题目5]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D为AB的中点，AB＝2.AC＝1，CC1＝，∠ABC＝30°.(1)证明：AC1∥平面B1CD；(2)求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值．(1)证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是平行四边形，所以点E是BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是△ABC1的中位线，所以DE∥AC1.又DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)解：由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.则C(0，0，0)，B1(0，，)，D，C1(0，0，)，所以DC1＝，CB1＝(0，，)，CD＝，设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CB1＝0，n·CD＝0，即令z＝1，得n＝(，－1，1)，所以cos〈n，DC1〉＝＝，所以直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值为.[题目6]已知曲线f(x)＝axlnx－2ax(a≠0)在点P(1，f(1))处的切线与直线x－y－1＝0垂直．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若1＜m＜2，证明：f(x)＜x2－mx－lnx.(1)解：由f(x)＝axlnx－2ax，且定义域为(0，＋∞)，得f′(x)＝a(lnx＋1)－2a＝alnx－a.所以f′(1)＝－a.又曲线f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线x－y－1＝0垂直，所以－a×1＝－1，则a＝1.则f(x)＝xlnx－2x，f′(x)＝lnx－1.令f′(x)＝0⇒x＝e.则当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f...
