5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,文19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2017湖北武汉五月调考,文20)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.3.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.4.(2017宁夏银川一中二模,文21)已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.5.(2017山东临沂一模,文20)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|BF|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求的取值范围.导学号〚24190964〛6.(2017北京东城一模,文19)已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.导学号〚24190965〛5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-·(x-m),直线BN的方程为y=·(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导得y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,由解得则M(2k,-1),∴点M到l的距离d==2.∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2=(|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1.当且仅当k=0时取等号,故当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值为1.3.解(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故椭圆E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1+x2=,x1x2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线l的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,此时S△OPQ≤1.所以当△OPQ的面积最大时l的方程为y=x-2或y=-x-2.4.解(1) 直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=.∴x2+y2=. 椭圆左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°得,圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由Δ>0,得2k2+1>m2,(*),且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4.化简得m2=,代入(*)得k≠0,又m2==1+=1+,由k≠0,得>0,∴>0.∴m2>1,得m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).5.解(1)由y2=4x得其焦点坐标是F(1,0).设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则|BF|=x0+1=,解得x0=,∴=4×.由点B在椭圆C上,得=1,即=1.又a2=b2+1,解得a2=4,b2=3.∴椭圆C的方程是=1.(2)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),...
