课时跟踪训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础巩固]一、选择题1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A．1B.C.D．－[解析]sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝.[答案]B2．已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于()A.B.C.D.[解析]由3sin2α＝2cosα，得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝＝.[答案]C3．已知sinα－cosα＝，则sin2(－α)＝()A.B.C.D.[解析]将sinα－cosα＝两边平方得2sinαcosα＝，所以sin2＝＝＝，故选D.[答案]D4．设tan＝，则tan＝()A．－2B．2C．－4D．4[解析]∵tan＝＝＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－4.[答案]C5．(2017·广东肇庆模拟)已知sinα＝且α为第二象限角，则tan＝()A．－B．－C．－D．－[解析]由题意得cosα＝－，则sin2α＝－，cos2α＝2cos2α－1＝.∴tan2α＝－，∴tan＝＝＝－.[答案]D6．(2017·浙江苍南县三校联考)若sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝－，则cos(α－β)＝()A．－B.C．－D.[解析]sinα＋sinβ＝，①cosα＋cosβ＝－，②①2＋②2，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.故选B.[答案]B二、填空题7．已知cosθ＝－，θ∈，则sin的值为________．[解析]由cosθ＝－，θ∈得sinθ＝－＝－，故sin＝sinθcos－cosθsin＝－×－×＝.[答案]8．已知cos＝－，则cosx＋cos＝________.[解析]cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝cos＝×＝－1.[答案]－19．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.[解析]∵α为锐角，cos＝为正数，∴α＋是锐角，sin＝.∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.[答案]三、解答题10．已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．[解](1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝＝1.[能力提升]11．(2018·河北唐山期末)已知tanθ＝，则tan＝()A．7B．－7C.D．－[解析]tan2θ＝＝＝，所以tan＝＝＝－，故选D.[答案]D12．(2018·江西宜春丰城中学段考)已知sin＋sinα＝－，－<α<0，则cos等于()A.B．－C．－D.[解析]∵sin＋sinα＝sinα＋cosα＋sinα＝sinα＋cosα＝＝－.∴sinα＋cosα＝－，即sin＝－，∴cos＝cos＝－sin＝，故选D.[答案]D13．化简：＝________.[解析]原式＝＝＝2cosα.[答案]2cosα14．若α∈，且tan＝2cos2α，则角α的大小为__________．[解析]由tan＝2cos2α，得＝2(cos2α－sin2α)，整理得：＝2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)，因为sinα＋cosα≠0，所以可得(cosα－sinα)2＝，解得sin2α＝，由α∈，得2α∈，所以2α＝，α＝.[答案]15．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．[解](1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又<α<π，所以cosα＝－＝－.(2)因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－.16．(2017·湖北百所重点中学联考)设α∈，满足sinα＋cosα＝.(1)求cos的值；(2)求cos的值．[解](1)由sinα＋cosα＝，得2＝，∴sin＝.又α∈，∴cos>0，∴cos＝＝＝.(2)由(1)可得cos2＝1－2sin2＝1－2×2＝，sin2＝2sincos＝2××＝.∴cos＝cos＝cos2cos＋sin2sin＝×＋×＝.
