高考数学一轮复习 专题9.6 空间几何体的体积求法练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

9.6空间几何的体积表面积平行垂直综合运用求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；考向一直接法【例1】如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）若AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1－COB1的体积．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）因为侧面侧面，侧面为正方形，所以平面，,又侧面为菱形，所以，所以平面.3311ABBA11ACCA11ACCAAC11ABBA1ABAC11ABBA11ABAB1AB1ABC（2）因为，所以，平面，所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积;平面，所以为三棱锥的高，因为，,所以【举一反三】1.．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=BB1=4,A1B1=B1C1=2，且B1B⊥面ABC，∠ABC=90°，D,G分别为AC,BC的中点，E,F为A1C1上两动点，且EF=2.（1）求证：BD⊥≥¿；（2）求四面体B−GEF的体积.【答案】见解析【解析】（1）取AB的中点O,连接OG,OA1,C1G, AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,又AC/¿A1C1,∴BD⊥A1C1, BG/¿B1C1,且BG=B1C1,∴四边形BGC1B1为平行四边形,∴GC1/¿BB1,同理，四边形OBB1A1为平行四边形，∴GC1/¿OA1.∴四边OGC1A1为平行四边形, B1B⊥面ABC,∴C1G⊥面ABC,∴C1G⊥BD,又A1C1∩C1G=C1,∴BD⊥面A1C1GO,11//ACAC11//AC1ABC11CCOB11ACOB1AB1ABC1AO11ACOB12,60ABABB111112122COBSOBCA111111331333CCOBCOBVAOS ¿⊂面A1C1GO,∴BD⊥≥¿.（2）令OG与BD交于M， C1G⊥面ABC,C1G⊂面A1C1GO,∴面A1C1GO⊥面ABC, 面A1C1GO∩面ABC=OG, OG/¿AC,BD⊥AC,∴BM⊥OG,∴BM⊥面A1C1GO,∴BM为点到B面A1C1GO的距离，即BM=❑√2,又SΔGEF=12×GC1×EF=12×4×2=4,∴VB−GEF=13×BM×SΔGEF=13×❑√2×4=4❑√23.考向二转移法【例2】在四棱锥P−ABCD中，∠ADC=∠BCD=90∘，AD=CD=1，BC=2，ΔPAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：PC⊥PB；（Ⅱ）若点E在线段PC上，且PC=3PE，求三棱锥A−EBC的体积.【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：取BC，AC的中点分别为M，N，连接AM，PN. ΔPAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴PN⊥AC. 平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PN⊥平面ABCD，而AB⊂ABCD，∴PN⊥AB①又 ∠ADC=∠BCD=90∘，AD=CD=1，BC=2，∴四边形AMCD为正方形，且AC=AB=❑√2，∴∠BAC=90∘，即AB⊥AC②由①②及PN∩AC=N得：AB⊥面PAC，又 PC⊂面PAC，∴AB⊥PC，又 PA⊥PC，PA∩AB=A，∴PC⊥面PAB，而PB⊂面PAB，∴PC⊥PB.（Ⅱ）过E点作EF⊥AC于F，则EF⊥面ABCD且EF=23PN=❑√23，VA−EBC=VE−ABC=❑√29（或由（Ⅰ）得AB⊥面PAC，VA−EBC=VB−EAC=13SΔAEC⋅AB=❑√29）【举一反三】1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.PABCDABCD22ABAD3PDBDADPDABCD（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】见解析【解析】（1）证明： ，∴， ，∴.又 底面，∴. ，∴平面.（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而.所以三棱锥的体积.考向三分割法【例3】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.BCPBDQPCAPBQ222ADBDABADBD//ADBCBCBDPDABCDPDBCPDBDDBCPBDAPBQAPBQVAQBC12AQBCQABCPABCVVV11111334434PABCDVAPBQ14APBQVABCDEFABCD60ABCFAABCD//EDFA22ABFAED（1）求证：平面平面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接交于，设中点为,连接，，分别为，的中点,且且四边形为平行四边形,即平面，平面FACEFCABCDEF533BDACOFCPOPEPOPACFC//OPFA12OPFA//OPEDOPEDOPED//ODEP//BDEPFAABCDBDABCDFABD四边形是菱形平面，即平面又平面平面平面（2）平面平面到平面的距离为【举一反三】1．如图，在多面体中，，四边形和...