第3练不等式与合情推理一、选择题1．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值与最大值的和为()A．7B．8C．13D．14解析：选D.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1，2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3，4)时，z＝2x＋y取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.2．(2018·长春质量检测(一))已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．16解析：选B.由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－)∪(，＋∞)C．(－∞，－)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(，＋∞)解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.4．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)C．[－1，1]D．[0，＋∞)解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况下列判断正确的是()A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人所以选C.6．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A⊗B＝x－1，则x的取值范围为()A．[1－，1]B．[1，1＋]C．[1－，1]D．[1，1＋]解析：选B.由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，得A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则化简，得由①，得1－≤x≤1＋.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋，则x的取值范围为[1，1＋]．故选B.7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A．逆时针方向匀速前跑B．顺时针方向匀速前跑C．顺时针方向匀速后退D．静止不动解析：选C.令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.8．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为()A．2＋B．5＋2C．8＋D．2解析：选A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×(a＋b)＝≥(4＋2)＝2＋.故选A.9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最大值为，则a的值为()A．－B．0C．1D．－或1...
