第10节导数的概念与计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与计算1,2,7,10求曲线的切线方程3,8,15导数的几何意义的应用4,5,6,9,12,14综合应用11,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015延庆模拟)下列求导数运算正确的是(D)(A)（x+）′=1+(B)(x2cosx)′=-2xsinx(C)(3x)′=3xlog3e(D)(log2x)′=解析:由导数公式及导数的运算法则可知(x+)′=1-;(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx;(3x)′=3xln3;(log2x)′=,故只有D正确.2.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(B)(A)1(B)-1(C)2(D)-2解析:依题意可知Δy=yB-yA=1-3=-2,Δx=xB-xA=3-1=2,所以函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率为==-1.3.(2015豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)=2exsinx,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(B)(A)y=0(B)y=2x(C)y=x(D)y=-2x解析:因为f(x)=2exsinx,所以f(0)=0,f′(x)=2ex·(sinx+cosx),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.4.(2015河南洛阳统考)曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则实数a等于(C)(A)1(B)-1(C)7(D)-7解析:f′(x)==,因为f′(1)=tan=-1,即=-1,所以a=7.5.(2016成都模拟)函数f(x)=2lnx+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是(A)(A)2(B)2(C)(D)1解析:因为f(x)=2lnx+x2-bx+a,所以f′(x)=+2x-b,所以k=+2b-b=+b≥2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值为2.6.(2015唐山模拟)曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a的值为(C)(A)4(B)-4(C)8(D)-8解析:y′=,在x=1处的切线斜率k=a,当x=1时,y=aln1=0,即切点坐标为(1,0),因此切线方程为y=a(x-1),令y=0得x=1,令x=0得y=-a,因为a>0,所以所围成的三角形的面积为×a×1=4,解得a=8.7.(2015高考天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为.解析:f′(x)=a(lnx+x·)=a(lnx+1),因为f′(1)=3,所以f′(1)=a=3.答案:38.(2015江西南昌十所重点中学二模)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为.解析:f′(x)=3x2+2ax+a-3,因为f′(x)是偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f(2)=8-6=2,f′(2)=9,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.答案:9x-y-16=09.(2015河北保定一模)函数f(x)=lnx+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)=lnx+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f′(x)=2在(0,+∞)上有解,而f′(x)=+a,即+a=2在(0,+∞)上有解,a=2-,因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).答案:(-∞,2)10.(1)利用导数的定义,求函数y=在x=x0处的导数;(2)利用导数公式,求y=的导数.解:(1)由于Δy=-=,所以=,因此,y′===,所以在x=x0处的导数为.(2)y′=()′===.11.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|-|·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016辽宁实验中学等五校联考)抛物线x2=y在第一象限内图像上一点(ai,2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6等于(B)(A)64(B)42(C)32(D)21解析:令f(x)=y=2x2,则f′(x)=4x,f′(ai)=4ai(i∈N*),切线方程为y-2=4ai(x-ai)(i∈N*),令y=0,得x=ai+1=ai(i∈N*),由a2=32得a4=8,a6=2,所以a2+a4+a6=42.13.(2015淮南模拟)点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(D)(A)1(B)(C)(D)解析:将x2-y-lnx=0变形为y=x2-lnx(x>0),则y′=2x-,令y′=1...
