第5讲向量与三角函数的综合问题1.将OA＝(1，1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝________．答案：(，)解析：由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝×(－)＝，纵坐标y＝·sin(60°＋45°)＝×(＋)＝，则OB＝(，)．2.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．答案：4解析：设a与b夹角为α，因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，因为α∈[0，π]，所以cosα∈[－1，1]，所以8－8cosα∈[0，16]，即|2a－b|2∈[0，16]，所以|2a－b|∈[0，4]．所以|2a－b|的最大值为4.3.已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且x∈[－，]，则|a＋b|＝________.答案：2cosx解析：∵a＋b＝(cos＋cos，sin－sin)，∴|a＋b|＝＝＝2|cosx|.∵x∈[－，]，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.4.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，其中α∈(，)．若|AC|＝|BC|，则角α＝________．答案：解析：∵AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，∴|AC|＝＝，|BC|＝.由|AC|＝|BC|得sinα＝cosα.又α∈(，)，∴α＝.5.在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，则AO·AC＝________．答案：4解析：设BC边中点为D，则AO＝AD，AD＝(AB＋AC)，∴AO·AC＝(AB＋AC)·AC＝(3×2×cos60°＋32)＝4.6.(2017·南京、盐城一模)在△ABC中，已知AB＝，C＝，则CA·CB的最大值为________．答案：解析：因为AB＝，C＝，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b＝时等号成立．又CA·CB＝abcosC＝ab，所以当a＝b＝时，(CA·CB)max＝.7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________．答案：解析：连结EG，FH，交于点O，则EF·FG＝EF·EH＝EO2－OH2＝1－＝，GH·HE＝GH·GF＝GO2－OH2＝1－＝，因此EF·FG＋GH·HE＝.8.在△ABC中，BC＝2，A＝，则AB·AC的最小值为________．答案：－解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，所以AB·AC≤.所以AB·AC＝AB·AC·cos＝－AB·AC≥－，故(AB·AC)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号成立．9.(2018·泰州中学学情调研)在△ABC中，AB＝BC＝2，AC＝3，设O是△ABC的内心．若AO＝pAB＋qAC，则＝________．答案：解析：如图，O为△ABC的内心，D为AC中点，则O在线段BD上，cos∠DAO＝＝，根据余弦定理cos∠BAC＝＝；由AO＝pAB＋qAC得AO·AB＝pAB2＋qAB·AC，所以cos∠BAO＝pAB2＋qcos∠BAC，所以3＝4p＋q①；同理AO·AC＝pAB·AC＋qAC2，所以可以得到＝p＋9q②.①②联立可求得p＝，q＝，所以＝.10.如图，已知非零向量AB与AC满足(＋)·BC＝0，且|AB－AC|＝2，|AB＋AC|＝2，点D是△ABC中边BC的中点，则AB·BD＝________．答案：－3解析：由(＋)·BC＝0得BC与∠A的平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC⊥AD.又|AB－AC|＝2，所以|CB|＝2，所以|BD|＝，AB·BD＝|AB||BD|cos(π－B)＝··(－cosB)＝3×(－)＝－3.11.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(，－)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，)．(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．解：(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n，所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0＜x＜，所以－＜x－＜，所以x－＝，即x＝.12.(2017·常州期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋c＝8，cosB＝.(1)若BA·BC＝4，求b的值；(2)若sinA＝，求sinC的值．解：(1)因为BA·BC＝accosB＝4，而cosB＝，所以ac＝16，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－ac＝24，所以b＝2.(2)因为cosB＝，所以sinB＝，所以a∶b＝sinA∶sinB＝＜1，所以a＜b，所以A为锐角，所以cosA＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正三角形OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴上的射影为C，∠AOC＝α.(1)试将OA·CB表示为α的函数f(α)，并写出其定义域；(2)求函数f(α)的值域．解：(1)由条件知，A(cosα，sinα)，C(cosα，0)，B(cos(α＋60°)，sin(α＋60°)).所以OA＝(cosα，sinα)，CB＝(cos(α＋60°)－cosα，sin(α＋60°))，所以OA·CB＝cosα·[cos(α＋60°)－cosα]＋sinα·sin(α＋60°)＝cosα·cos(α＋60°)＋sinα·sin(α＋60°)－cos2α＝cos[(α＋60°)－α]－cos2α＝－cos2α＝－＝－cos2α，所以f(α)＝－cos2α，其定义域为(0，).(2)因为α∈(0，)，所以2α∈(0，)，cos2α∈(，1)，所以－cos2α∈(－，－)，即函数f(α)的值域为(－，－)．
