空间几何体02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.【答案】(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，∴C，D，F，E四点共圆．(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.18．如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD=2，AB＝1.点M线段PD的中点．(I）若PA＝2，证明：平面ABM⊥平面PCD；(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．【答案】(Ⅰ)∵平面，.∵点M为线段PD的中点，PA=AD=2，.又∵平面，.平面.又平面，∴平面⊥平面.(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD.∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,平面⊥平面，平面.所以AN就是点A到平面PCD的距离.设棱锥的高为，则AN=.在△中，..因为，当且仅当，即时，等号成立.故.19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．(1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2）当AD的长等于多少时？二面角B1－DC－C1的大小为60°．【答案】(1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．∴B1C1⊥CD．①由D为中点可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．(2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，连接EB1．由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．由B1C1＝2，知，设AD＝x，则．∵△DCC1的面积为1，∴，解得，即．20．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角【答案】∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，又∵，∴，∴，即斜线和平面所成角为．21．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．(1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？(2）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．【答案】(1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，平面ABC的一个法向量为则(*）于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，.(2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由得，解得.令于是由，解得的延长线上，且.22．已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),求证:ABC是直角三角形.【答案】证明:为直角三角形.
