高考数学 命题热点全覆盖 专题03 函数性质灵活应用 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题03函数性质灵活应用一．陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。（3）单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。【解析】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增，故，故选A.【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.4.利用性质解决抽象函数问题例4．【2019山东模拟】给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的单调减区间是；④不存在实数，使为奇函数；⑤若，且，则.其中正确说法的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①④⑤【答案】D【解析】①中A集合与B集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.②中若函数定义域为由得即函数的定义域为，故错误.③函数的单调减区间是故错误.④函数的定义域为R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数m,函数不会是奇函数，故④错误.⑤若则所以，故正确.选D.练习1．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1） 函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．练习2．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：，考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。以上命题正确的是．【答案】②③④【解析】①因为对定义域内任意，，满足，∴令，得，故①错误；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数．故②正确；③若，则为常数故数列为等差数列，故③正确；④ ，，∴当时，，则，，…，则，若，则为常数，则数列为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如，它的原型就是；②可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用例5.已知函数的定义域为的奇函数，当时，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 的定义域为的奇函数，∴，即，把x换成x-2，可得：，又，∴，故函数周期为T=4，又∴，当时，，∴【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；（2）若，则函数周期为（3）若，则函数的周期为；（4）若，则函数的周期为.练习1.已知...