考点规范练35直接证明与间接证明一、基础巩固1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-a4+b42≤0C.(a+b)22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0答案D解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:❑√b2-ac<❑√3a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案C解析❑√b2-ac<❑√3a⇔b2-ac<3a2(⇔a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<02⇔a2-ac-c2>0(⇔a-c)(2a+c)>0(⇔a-c)(a-b)>0.故选C.3.设x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,则()A.P>QB.P0,所以P>2.又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.4.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设()A.x,y都不为0B.x≠y,且x,y都不为0C.x≠y,且x,y不都为0D.x,y不都为0答案D解析原命题的结论是x,y都为0,利用反证法时,应假设x,y不都为0.5.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是()A.a+b>1B.a+b>2C.a2+b2>2D.ab>1答案B解析若a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故A推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故D推不出;对于B,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)b>0,m=❑√a−❑√b,n=❑√a-b,则m,n的大小关系是.答案mb>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=❑√a-❑√b❑√a-b与1的大小关系,只需判断a+b-2❑√aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2❑√ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2❑√ab与0的大小关系,只需判断❑√b−❑√a与0的大小关系.由a>b>0,可知❑√b−❑√a<0,即mn<1,即可判断m2❑√2+❑√5解析要比较❑√6+❑√7与2❑√2+❑√5的大小,只需比较(❑√6+❑√7)2与(2❑√2+❑√5)2的大小,只需比较6+7+2❑√42与8+5+4❑√10的大小,只需比较❑√42与2❑√10的大小,只需比较42与40的大小, 42>40,∴❑√6+❑√7>2❑√2+❑√5.9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.证明 a,b,c∈(0,+∞),∴a+b2≥❑√ab>0,b+c2≥❑√bc>0,a+c2≥❑√ac>0.又上述三个不等式中的等号不能同时成立.∴a+b2·b+c2·c+a2>abc成立.上式两边同时取常用对数,得lg(a+b2·b+c2·c+a2)>lgabc,∴lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.10.已知a>0,1b−1a>1,求证:❑√1+a>1❑√1-b.证明由已知1b−1a>1及a>0可知01❑√1-b,只需证❑√1+a·❑√1-b>1,只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即a-bab>1,即1b−1a>1,这是已知条件,所以原不等式得证.11.设函数f(x)=1x+2,a,b∈(0,+∞).(1)用分析法证明:f(ab)+f(ba)≤23;(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12.证明(1)要证明f(ab)+f(ba)≤23,只需证明1ab+2+1ba+2≤23,只需证明ba+2b+ab+2a≤23,即证b2+4ab+a22a2+5ab+2b2≤23,即证(a-b)2≥0,这显然成立,所以f(ab)+f(ba)≤23.(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12,即ab+2≤12,ba+2≤12,所以2a≤b+2,2b≤a+2,两式相加得a+b≤4,这与a+b>4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于12.二、能力提升12.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐...
