椭圆的简单几何性质点拨一．基础知识精讲1.椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e=ac,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程sin)(cosbyax是参数二．命题趋势分析1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，这样计算简洁，还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.三．重点难点例析通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义.用心爱心专心例1P是椭圆方程为162y+92x=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解析：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4-7，4+7］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16t∈［4-7，4+7］当t=4时，取最大值为16，当t=4±7时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］。例2F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解析：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=2t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a，∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a即(2+2)t=4a,t=(4-22)a，∴｜PF2｜=2a-t=(22-2)a，在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2，∴［(4-22)a］2+［(22-2)a］2=(2c)2∴22ac=9-62∴e=ac=6-3，例3已知P是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的一点，F1F2为两焦点，且F1P⊥F2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.解析：(利用椭圆第二定义求解)∵点P到两准线的距离分别是6和12∴2·ca2=6+12即a2=9c由椭圆第二定义知，e=11dPF=22dPF∵d1=6,d2=12∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e又∵PF1⊥PF2∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2∴36e2+144e2=4c2∵e=ac∴a2=45又a2=9c∴c=5∴b2=a2-c2=20，∴所求椭圆的方程的452x+202y=1例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0)，直线AB：y=-41x+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0，∴-213＜t＜213①且x1+x2=138t又AB的中点M在直线y=4x+m上，∴1312t=4×134t+m∴t=-413m用心爱心专心代入①式得：-13213＜m＜13213。解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则421x+321y=1①422x+322y=1②①-②得42221xx+32221yy=0∴2121xxyy=)(4)(32121yyxx而KAB=2121xxyy=-41，故有)(4)(32121yyxx=-41，设AB的中点为(x,y)，则有x1+x2=2x,y1+y2=2y，代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.由mymxmxyxy343由于AB的中点在椭圆内部∴4)(2m+3)3(2m＜1m2＜134，-13213＜m＜13213。故当m∈(-13213，13213)时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称.例5椭圆92522yx=1上不同三点A(x1,y1),B(4,159),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8。(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.解析：由题知a=5,b=3,c=4.(1)由椭圆的第二定义知：12xcaAF=ac｜AF｜=a-acx1=5-54x1同理有｜CF｜=5-54x2∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜且｜BF｜=159∴(5-54x1)+(5-54x2)=518即x1+x2=8。(2)∵线段AC的中点为(4，221yy)，用心爱心专心∴它的垂直平分线方程为y-221yy=1221yyxx(x-4)，又点T在x轴上，设其坐标为(x0,0)，代入上式得，x0-4=)(2212221xxyy①点A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上∴y21=259(25-x21),y22=259(25-x22)，∴y21-y22=-259(x1+x2)(x1-x2)，将此式代入①并利用x1+x2=8得x0-4=-2536。∴kBT=04059x=45。用心爱心专心
