4-5不等式选讲课时作业A组——基础对点练1．(2018·成都市模拟)已知f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋|2x－5|≥6的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)－|x－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，不等式即为|x－1|＋|2x－5|≥6.当x≤1时，不等式可化为－(x－1)－(2x－5)≥6，∴x≤0；当1＜x＜时，不等式可化为(x－1)－(2x－5)≥6，无解；当x≥时，不等式可化为(x－1)＋(2x－5)≥6，∴x≥4.综上所述：原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．(2)∵||x－a|－|x－3||≤|x－a－(x－3)|＝|a－3|，∴f(x)－|x－3|＝|x－a|－|x－3|∈[－|a－3|，|a－3|]．∴函数g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]．∵[－1,2]⊆A，∴解得a≤1或a≥5.∴a的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．2．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－1|.(1)求函数f(x)的图象与直线y＝1围成的封闭图形的面积m；(2)在(1)的条件下，若正数a，b满足a＋2b＝abm，求a＋2b的最小值．解析：(1)函数f(x)＝2|x＋1|－|x－1|＝它的图象及直线y＝1如图所示：函数f(x)的图象与直线y＝1的交点为(－4,1)，(0,1)，故函数f(x)的图象和直线y＝1围成的封闭图形的面积m＝×4×3＝6.(2)∵a＋2b＝6ab，∴＋＝6，a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝×(＋＋4)≥×(2＋4)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，∴a＋2b的最小值是.3．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1.(1)证明|am＋bn＋cp|≤1；(2)若abc≠0，证明＋＋≥1.证明：(1)易知|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，所以|am|＋|bn|＋|cp|≤＋＋＝＝1，故|am＋bn＋cp|≤1.1(2)因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，所以＋＋＝(＋＋)(a2＋b2＋c2)≥(·a＋·b＋·c)2＝(m2＋n2＋p2)2＝1.所以＋＋≥1.4．(2018·长沙市模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)2.(1)证明：f(x)＋|f(x)－2|≥2；(2)当x≠－1时，求y＝＋[f(x)]2的最小值．解析：(1)证明：∵f(x)＝(x＋1)2≥0，∴f(x)＋|f(x)－2|＝|f(x)|＋|2－f(x)|≥|f(x)＋[2－f(x)]|＝|2|＝2.(2)当x≠－1时，f(x)＝(x＋1)2＞0，∴y＝＋[f(x)]2＝＋＋[f(x)]2≥3·＝，当且仅当＝＝[f(x)]2时取等号，即x＝－1±时取等号．∴y＝＋[f(x)]2的最小值为.B组——能力提升练1．(2018·温州摸拟)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．解析：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，有－≤x≤，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f，则h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.2．(2018·甘肃省模拟)设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋g(x)＜2；(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.解析：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|＜2.①当x＜2时，原不等式可化为3－x＋2－x＜2，可得x＞，所以＜x＜2.②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－2＜2，可得1＜2，所以2≤x≤3.③当x＞3时，原不等式可化为x－3＋x－2＜2，可得x＜，所以3＜x＜.由①②③可知，不等式的解集为{x|＜x＜}．(2)证明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3.当且仅当或时等号成立．3．(2018·淮南模拟)设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．解析：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0解得－0，2故|1－4ab|2>4|a－b|2，即|1－4ab|>2|a－b|.4．(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)，若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，求a的值；(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥.解析：(1)因为a＞0，所以f(x)＝|x＋1|＋|x－a|＝又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，解得a＝2.(2)证明：＋＋＝＝＝≥(当且仅当a＝b＝c＝时，取等号)．3
