沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十三讲3.7数列的应用一．知识网络1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.二、经典例题【例1】6.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月2日不再存款，而是将所有存款及利息全部取回，求可取回的钱的总数（万元）.解：存款从后向前考虑（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5=ppp]1)1)[(1(6=p1［（1+p）7－（1+p）］.答：p1［（1+p）7－（1+p）］万元。提炼方法：数列模型——等比数列的和，实质是复利、零存整取取问题。从最后一年存款向前算。【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n－1）·100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.依题意，得1000n+2)1(nn×100+（100n+800）（15－n）+2)14)(15(nn×（－100）=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.温馨提示:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n－（12n+2)1(nn×4）－98=－2n2+40n－98，由y＞0，得10－51＜n＜10+51. n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利.（2）方案一：年平均盈利为ny，ny=－2n－n98+40≤－2nn982+40=12，当且仅当2n=n98，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.【例4】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=104，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列{an}的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分1002an后剩余的面积10098an，另一部分是新绿化的面积1008bn，于是an+1=10098an+1008bn=10098an+1008（1－an）=109an+252.（2）an+1=109an+252，an+1－54=109（an－54）.数列{an－54}是公比为109，首项a1－54=104－54=－52的等比数列.∴an+1=54+（－52）（109）n.（3）an+1＞60%，54+（－52）（109）n＞53，（109）n＜21，n（lg9－1）＜－lg2，n＞3lg212lg≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超...
