培优点十五平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取的中点，连接，，因为，所以，所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面．（2）由题意可知．连接，，因为，所以四边形是平行四边形，故又，，所以平面平面．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，．【解析】（1）证明：连接与，两线交于点，连接．在中， ，分别为，的中点，∴，又 平面，平面，∴平面．（2）证明： 侧棱底面，平面，∴，又 为棱的中点，，∴． ，，平面，∴平面，∴ ，∴．又 ，∴在和中，，∴，即，∴ ，，平面，∴平面．（3）解：当点为的中点，即时，平面平面证明如下：设的中点为，连接，， ，分别为，的中点，∴，且．又 为的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴， 平面，∴平面．又 平面，∴平面平面．一、单选题1．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体中：对点增分集训对于说法①：若取平面为，，分别为，，分别为，满足，但是不满足，该说法错误；对于说法②：若取平面为，，分别为，分别为，满足，但是不满足，该说法错误；对于说法③：若取平面为，，分别为，分别为，满足与相交，但是与异面，该说法错误；对于说法④：若取平面为，、分别为，、分别为，满足与平行，但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D选项．2．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，且，则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】对于选项A，若，，且，则l不一定垂直平面， 有可能和平行，∴该选项错误；对于选项B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C，若，则有可能在平面内，∴该选项错误；对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，故答案为D．3．给出下列四种说法：①若平面，直线，则；②若直线，直线，直线，则；③若平面，直线，则；④若直线，，则．其中正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D【解析】若平面，直线，则可异面；若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面的交线；若直线，，则可相交，此时平行两平面的交线；若平面，直线，则无交点，即；故选D．4．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1），，，（2），（3），，（4），A．0个B．1个C．2个D．3【答案】B【解析】由，，，，若相交，则可得，若，则与可能平行也可能相交，故（1）错误；若，根据线面垂直的第二判定定理可得，故（2）正确；若，，，则或异面，故（3）错误；若，，则或，故（4）错误；故选B．5．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A：和是异面直线，故选项不正确；B：和是异面直线，故选项不正确；C：记． 正方体中，分别是的中点，∴，，∴为平行四边形，∴， 平面，平面，∴平面．D：由C知，而面和面相交，故选项不正确；故选C．6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若垂直于同一平面，则平行B．若平行于同一平面，则平行C．若不平行，则在内不存在与平行的直线D．若不平行，则不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一...
