广东省始兴县风度中学高三数学（文）尖子生培优训练资料1、设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；（2）令，若不等式对任意N都成立，求实数的取值范围.2、已知函数满足,对于任意R都有,且1,令.(1)求函数的表达式；（2）求函数的单调区间；（3）研究函数在区间上的零点个数.3、动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆的圆心是曲线上的动点,圆与轴交于两点，且.2（1）求曲线的方程；（2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.4、已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作圆P，其中圆心P的坐标为．(1)若FC是圆P的直径，求椭圆的离心率；（2）若圆P的圆心在直线上，求椭圆的方程．3培优资料7答案1、(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵数列是首项为,公差为的等差数列，∴.∴.……2分当时，；当时，.又适合上式.∴.……4分4故要使不等式对任意N都成立，即对任意N都成立，得对任意N都成立.……10分令，则.∴.∴.……12分∴.∴实数的取值范围为.……14分52、(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解：∵，∴.……1分∵对于任意R都有,∴函数的对称轴为，即，得.……2分又，即对于任意R都成立，∴,且．∵，∴．∴．……4分6当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和．……10分(3)解：①当时，由(2)知函数在区间上单调递增，又，故函数在区间上只有一个零点．……11分②当时，则，而，，（ⅰ）若，由于，7且，此时，函数在区间上只有一个零点；……12分（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点．……13分综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；当时，函数在区间上有两个不同的零点．……14分3、(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解法1:设动点的坐标为,依题意,得,即,……2分化简得:,∴曲线的方程为.……4分解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线…2分∴曲线的方程为.……4分∵,∴,则当时,取得最小值为,……8分8依题意得,两边平方得,解得或(不合题意,舍去).……10分∴,,即.∴圆的圆心的坐标为.∵圆与轴交于两点，且,∴.∴.……12分∵点到直线的距离,∴直线与圆相离.……14分4、解：（1）由椭圆的方程知，∴点，，设的坐标为，………………1分∵FC是圆P的直径，∴∵∴--------------------2分∴，----------------------------------------3分解得--------------------------------------5分∴椭圆的离心率--------------------6分（2）若圆P的圆心在直线上，求椭圆的方程．9解：∵圆P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------①-----------7分∵BC的中点为，∴BC的垂直平分线方程为-----②---------9分由①②得，即-----11分∵P在直线上，∴∵∴-----------------13分由得∴椭圆的方程为---------------------14分10
