课时分层作业(四十九)简单的三角恒等变换(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数D[原式＝＝(1－sin2x)＝－sin2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．已知＝，则的值为()A.B．－C.D．－B[∵·＝＝＝－1且＝，∴＝－.]3．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A＝()A．－B.C．－D．A[sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.]4．已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为()A．－B．－C．－D．－A[由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A.]5．已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为()A．2π，B．π，C．2π，D．π，B[∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]二、填空题6．有以下四个关于三角函数的命题：①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π]，＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝.其中假命题的序号为．①④[因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为＝＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠，所以④为假命题．]7．化简下列各式：(1)＜α＜，则＝.(2)α为第三象限角，则－＝.(1)sinα－cosα(2)0[(1)∵α∈，∴sinα＞cosα，∴＝＝＝＝sinα－cosα.(2)∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，∴－＝－＝－＝0.]8．函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是．[－5,3][f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)取得最大值3，当sinx＝－1时，f(x)取得最小值－5，所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]三、解答题9．求证：tan－tan＝.[证明]法一：(由左推右)tan－tan＝－＝＝＝＝＝.法二：(由右推左)＝＝＝－＝tan－tan.10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.(1)求证：f＝g(x)；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．[解](1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cosx，g(x)＝＝1＋2sincos＝1＋sinx，∵f＝1＋cos＝1＋sinx，∴f＝g(x)，命题得证．(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝＝cos，∵x∈[0，π]，∴≤x＋≤，当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．∴函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．11．设a＝cos7°＋sin7°，b＝，c＝，则有()A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞aA[∵a＝sin37°，b＝tan38°，c＝sin36°，∴b＞a＞c.]12．设α∈，β∈，且＝，则()A．2α＋β＝B．2α－β＝C．α＋2β＝D．α－2β＝B[由题意得sinα－sinαsinβ＝cosαcosβ，sinα＝cos(α－β)，∴cos＝cos(α－β)．∵－α∈，α－β∈，∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝.]13．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值是．2[f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.]14．(一题两空)若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则sinθ＝，cos＝.±[由25sin2θ＋sinθ－24＝0，又θ是第二象限角，得sinθ＝或sinθ＝－1(舍去)．故cosθ＝－＝－，由cos2＝得cos2＝.又是第一、三象限角，所以cos＝±.]15．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.(1)若sinα＝，求cos∠POQ；(2)求△OPQ面积的最大值．[解](1)由题意知∠QOM＝，因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝，所以cos∠POQ＝cos＝coscosα＋sinsinα＝.(2)由三角函数定义，得P(cosα，sinα)，从而Q(cosα，cosα)，所以S△POQ＝|cosα||cosα－sinα|＝|cos2α－sinαcosα|＝＝≤＝＋.因为α∈，所以当α＝－时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为＋.
