专题复习向量、立体几何一.本周教学内容：专题复习（向量、立体几何）【专题内容】平面向量、立体几何初步、空间向量与立体几何【专题重点】向量的概念、向量的几何表示、向量的加减、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及向量的数量积和几何意义、平面和空间的距离公式。线线、线面、面面的平行与垂直判定和性质、空间角与距离的求法、多面体和旋转体的表面积和体积计算公式、平面的法向量及其用法.【专题连接】平面向量作为工具与数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等专题结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、角度、垂直等问题以及圆锥曲线中的典型问题。立体几何与三角函数、向量、不等式等专题内容结合，用来解决线、面关系中有关概念（特别是平行与垂直关系的性质和判定），异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的计算，点到平面的距离、球的表面积与体积的计算问题.【思想方法】数形结合、分类讨论、化归思想、等价转化思想；反证法、平移法、割补法、模型法、等积法、坐标法.【专题指导】1.向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.有关向量的命题，具有很强的时代气息，深受命题者的喜爱.综观近几届高考，向量由只考关于向量概念或运算小题，到考查以向量为背景的解析几何大题.尤其与圆锥曲线的综合有一定难度.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，运用空间向量的坐标和数量积解决角度、长度的问题，比传统立体几何方法更简便快捷.向量与三角函数有着密切的联系，一个以向量和三角函数为载体的数学问题能考查中学数学多方面的内容，更能考查学生的创新意识和创造性解决问题的能力，所以向量内容在高考中的分值会逐渐增加.平面向量大题在以前高考卷很少单独出现，估计以后将会成为高考的一个命题点.但在高考中，平面向量与其他章节的综合题已经出现，因此，在复习中一方面要重视平面向量的基础作用，加强基础知识的学习.做到概念清、运算准，对于定比分点、图形平移等要掌握公式及寻求规律；另一方面，也要注意综合能力的训练，平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考重点，复习中要注意培养准确运算的能力和灵活运用知识的能力.2.学会画图与识图，能借助图形思考，常把空间问题转化为平面问题处理，这是化归思想在立体几何中的具体应用.3.用空间向量的运算可弥补空间想象能力的不足，可解决以下问题：（1）用两个向量共线的条件和共面向量定理，可以证明有关线线平行、线面平行、面面平行问题；（2）利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线、线面、面面垂直问题；（3）利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题；（4）利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题.【典例分析】例1.已知向量满足条件，，用心爱心专心115号编辑1求证：△是正三角形.思路分析：观察条件中的两个等式，联系向量的模及加法的几何意义，可构造图形巧证，如图1。又据条件易知O为定点，故可适当选取坐标系，借助向量的坐标运算，将几何问题代数化，如图2。也可联想三角知识进行坐标选取。如使得选取具有任意性。且巧妙运用了三角变形.证明为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法。证法一：如图1略。图1证法二：如图2略。图2证法三：据||=，令由得可求得||=，所以为正三角形.证法四：设由已知得||=，所以为正三角形。证法五：同证法四求得，于是=用心爱心专心115号编辑2所以，由此可证为正三角形.点评：以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.例2.如图，已知点是△的重心，（1）求；（2）若过△的重心，且求证：思路分析：充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论，把相关向量用已知向量表示即可。解：（1）（2）显然因为是的重心，所以=由、、三点共线，有共线，所以，有且只有一个实数，而=－=，所以=.又因...
