课下层级训练(三十)数列的概念与简单表示法[A级基础强化训练]1．(2019·山东青州检测)有下列命题：①数列，，，，…的通项公式是an＝；②数列的图象是一群孤立的点；③数列1，－1,1，－1,1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列；④数列，，…，是递增数列．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．0【答案】A[由通项公式知a1＝，故①不正确；易知②正确；由于两数列中数的排列次序不同，故不是同一数列，所以③不正确；④中的数列为递减数列，所以④不正确．]2．(2019·山东德州月考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋2，则a3＋a4＋a5＝()A．10B．11C．33D．34【答案】C[由数列{an}的前n项和满足Sn＝n2＋4n＋2，则a3＋a4＋a5＝S5－S2＝33.]3．现有这么一列数：2，，，，()，，，…，按照规律，()中的数应为()A．B．C．D．【答案】B[分母为2n，n∈N，分子为连续的质数，所以()中的数应为.]4．(2019·山东淄博检测)在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n＞1)，则a2020的值为()A．－B．5C．D．以上都不对【答案】A[由题意知，a2＝5，a3＝，a4＝－＝a1，因此数列{an}的周期为3，即a2020＝a673×3＋1＝a1＝－.]5．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值，若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为()A．0B．4C．D．【答案】A[因为an＝－32＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.]6．(2019·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝()A．40B．35C．5D．12【答案】C[数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5.可得an＋1＝5.则a8＝5.]7．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.【答案】[借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.]8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3－3×2n，n∈N*，则an＝________.【答案】－3×2n－1[分情况讨论：①当n＝1时，a1＝S1＝3－3×21＝－3；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3－3×2n)－(3－3×2n－1)＝－3×2n－1.综合①②，得an＝－3×2n－1.]9．(2019·山东潍坊月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.【答案】[因为Sn＝2an＋1，a1＝1，当n＝1时，S1＝a1＝2a2，∴a2＝.当n≥2时，Sn－1＝2an，两式相减得an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2)．∴当n≥2时，an＝a2·n－2＝×n－2，故an＝]10．(2019·山东潍坊检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn，请写出一个能说明“若{an}为递增数列，则k≤1”是假命题的k的值________.【答案】(1,3)内任意一个数均可[由题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－kn，若{an}为递增数列，则an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k＞0，n∈N*恒成立，即k＜2n＋1，n∈N*恒成立，所以实数k＜3，所以“若{an}为递增数列，则k≤1”是假命题的k的值可取(1,3)．][B级能力提升训练]11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8【答案】B[由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.]12．(2019·山东济南检测)设数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝1－，则an＝()A．1－B．C．D．【答案】D[a1＋＋＋…＋＝1－①，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝1－②，①－②得＝－＝，故an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝，满足上式．故an＝.]13．(2019·山东临沂检测)如果{an}的首项a1＝2017，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－1＝－n2(n∈N*，n≥2)，则a101＝________.【答案】1917[ Sn＋Sn－1＝－n2，∴Sn＋1＋Sn＝－(n＋1)2，∴Sn＋1－Sn－1＝－2n－1，即an＋1＋an＝－2n－1，∴an＋2＋an＋1＝－2n－3，故an＋2－an＝－2，∴数列{an}的所有奇数项构成以a1＝2017为首项，以－2为公差的等差数列，则a101＝2017＋(51－1)×(－2)＝1917.]14．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．【答案】解(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．所以bn＝(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2...
