1.5平面直角坐标系中的距离公式1.已知点M(-1,3),N(5,1),若点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0解析:由|PM|=|PN|,得,化简得3x-y-4=0.答案:D2.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A.B.2-C.-1D.+1解析:由点到直线的距离公式知,d==1,解得a=-1±.又因为a>0,所以a=-1.答案:C4.导学号62180113过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,且与原点间的距离等于1的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案:B5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4解析:依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,故可设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,即直线l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得点M到原点的距离的最小值为=3.故选A.答案:A6.若在△ABC中,顶点坐标分别为A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于.解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线的方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此,S△ABC=×2=5.答案:57.若直线l经过点A(5,10),且坐标原点到直线l的距离为10,则直线l的方程是.解析:①k存在时,设直线方程为y-10=k(x-5),∴10=.∴k=-或k=0.∴y-10=-(x-5)或y=10.②k不存在时,x=5不符合题意.综上所述,所求直线为4x+3y-50=0或y=10.答案:4x+3y-50=0或y=108.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是.解析:根据题意可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),则,所以c=-1或c=3(舍去).所以直线l的方程是x+y-1=0.答案:x+y-1=09.导学号62180114x,y满足x+y+1=0,求x2+y2-2x-2y+2的最小值.解:原式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方,而点(x,y)在直线x+y+1=0上.设d为Q点到直线x+y+1=0的距离,由|PQ|≥d得,即x2+y2-2x-2y+2≥.故所求最小值为.10.已知正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF交于点G.求证:AG=AD.证明:以点B为坐标原点,以BC为x轴,AB为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-x+1,由解得即点G.从而|AG|==2=|AD|.11.已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程;(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值;(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)当斜率不存在时,方程x=2适合题意;当直线的斜率存在时,设为k,则直线方程应为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.根据题意=2,解得k=,∴直线方程为3x-4y-10=0.∴所求直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程即为过点P且与OP垂直的直线,易求其方程2x-y-5=0,且最大距离d=.(3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为,而6>,故这样的直线不存在.
