第25讲倍角公式及简单的三角恒等变换1．的值为(C)A．－B．－C.D.原式＝＝＝＝sin30°＝.2.(2017·山西太原4月模拟)已知α为锐角，若sin(α－)＝，则cos(α－)＝(A)A.B.C.D.(方法1)因为α为锐角，sin(α－)＝，所以cos(α－)＝，所以cos(α－)＝cos[(α－)－]＝cos(α－)cos＋sin(α－)sin＝×＋×＝.(方法2)令α－＝θ，则sinθ＝，cosθ＝，所以cos(α－)＝cos(θ－)＝×cosθ＋×sinθ＝.3.(2018·佛山一模)已知tanθ＋＝4，则cos2(θ＋)＝(C)A.B.C.D.由tanθ＋＝4，得＋＝4，即＝4，所以sinθcosθ＝，所以cos2(θ＋)＝＝＝＝＝.4．(2018·全国卷Ⅰ·文)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(B)A.B.C.D．1由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，所以＝，即＝，所以tanα＝±，即＝±，所以|a－b|＝.5．(经典真题)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝－.因为tan(θ＋)＝，所以＝，解得tanθ＝－，所以(sinθ＋cosθ)2＝＝＝＝，因为θ为第二象限角，tanθ＝－，所以sinθ＋cosθ<0，所以sinθ＋cosθ＝－.6．(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝，b＝1.因为2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin(2x＋)，所以1＋sin(2x＋)＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝，b＝1.7．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求cosβ的值．因为cosα＝，0<α<，所以sinα＝＝，因为0<β<α<，所以0<α－β<，又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.8．(2018·湖南永州三模)已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下列四个命题正确的是(C)A．sin2α＝2αcos2αB．cos2α＝2αsin2αC．sin2β＝－2βsin2βD．cos2β＝－2βsin2β由题意得直线y＝kx与y＝－cosx(x∈(，π))的图象相切，且切点为(β，－cosβ)，因为y′＝sinx，所以k＝＝sinβ，所以tanβ＝－.则sinβ＝，cosβ＝，那么sin2β＝2sinβcosβ＝＝－2βsin2β.故选C.9．(2018·河南南阳第三次联考)如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上的一点，K为BD上的一点，且∠ABC＝∠KAD＝∠AKD，则DC＝.由题意得sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.sin∠BDC＝sin(∠DKA＋∠DAK)＝sin2∠ABC＝2sin∠ABCcos∠ABC＝2××＝，所以cos∠BDC＝，tan∠BDC＝，所以CD＝＝.10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
