函数与导数问题感悟体验·快易通1.已知函数f(x)=x(ex+1),(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-aex-x,求函数g(x)在[1,2]上的最大值.【解析】(1)因为f(0)=0,故所求切线方程为y=2x.(2)依题意,g′(x)=(x-a+1)ex,令g′(x)=0得x=a-1,所以当a-1≤1时,即a≤2时,x∈[1,2]时,g′(x)≥0恒成立,g(x)单调递增,所以g(x)最大值为g(2)=(2-a)e2;当a-1≥2时,即a≥3时,x∈[1,2]时,g′(x)≤0恒成立,g(x)单调递减,所以g(x)最大值为g(1)=(1-a)e;当1
0,g(x)单调递增.所以当x∈[1,2]时,g(x)最大值为g(1)或g(2).g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当3>a≥=时,g(1)-g(2)≥0,g(x)max=g(1)=(1-a)e,当22e.【解析】(1)f′(x)=-,(x>0),当a<0时,f′(x)<0,知f(x)在(0,+∞)上是递减的;当a>0时,f′(x)=,知f(x)在(0,)上是递减的,在(,+∞)上是递增的.(2)由(1)知,a>0,f(x)min=f()=1-lna,依题意1-lna<0,即a>e,由a=e2得,f(x)=-2lnx(x>0),x1∈(0,e),x2∈(e,+∞),由f(2e)=4-2ln2>0及f(x2)=0得,x2<2e,即x2∈(e,2e),欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上是递减的,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可,由f(x2)=-2lnx2=0得=2e2lnx2,所以f(2e-x2)=-2ln(2e-x2)=-2ln(2e-x2)=-2ln(2e-x2)=4-+2lnx2-2ln(2e-x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4-+2lnt-2ln(2e-t),t∈(e,2e),则g′(t)=-++=>0,知g(t)在(e,2e)上是递增的,于是g(t)>g(e)=0,即f(2e-x2)>0,综上,x1+x2>2e.
