一、分组求和法二、裂项相消法培优点十二数列求和例1：设公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，可求得，，公差为，即，解得（舍）或，所以，．（2）．例2：设数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），是公比为的等比数列，又，解得，是以为首项，公比为的等比数列，通项公式为．（2），，三、错位相减法数列的前项和．例3：在数列中，有，；在数列中，有前项和．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知得数列为首项为，公比为的等比数列，，在数列中，当时，有，当时，，上式也成立，所以．（2），，对点增分集训，两式相减有，．一、选择题1．已知各项不为的等差数列满足，则前项和（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，，，则．2．已知递增的等比数列的前项和为，若成等差数列，且，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成等差数列，所以，即，化简得，解得(舍)或，又，所以，．3．设数列是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵成等比数列，∴，即，解得，，，．4．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，令它的前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设公比为，由，，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或．所以．故选A．5．数列按如下规律排列，，，，，，，则它的前项和（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观察数列发现它的通项公式为，，，两式相减可得，．6．数列的通项公式为，则数列的前项和（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，数列的通项公式为，，所以数列的前项和．7．已知数列的前项和为，，当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，①，故②，由②－①得，，即，所以，故选C．8．已知等差数列中，，，，则使成立的最大的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，，，∴，∴，由，解得，又在数列中为整数，∴最大的值为．故选B．二、填空题9．已知数列的通项公式为，则它的前项和_______．【答案】【解析】数列的通项公式为，．10．等差数列中，，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】在等差数列中，，，可得，，所以数列的公差，，所以，，则数列的前项和．11．已知数列中，，，前项和为．若，，则数列的前项和为_______．【答案】【解析】因为，所以．所以，又，所以是首项为，公差为的等差数列，则，所以，又也满足，所以，所以．所以数列的前项和为．12．等比数列的前项和，则数列的前项和_______．【答案】【解析】当时，，，符合通项公式，所以有，可有，两式相减可得，所以．三、解答题13．已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）依题意，当时，有，解得或，对任意，有，当时，有，两式相减并整理得，而数列的各项均为正数，，当时，，此时成立；当时，，此时舍去．，．（2）．14．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为()．由题意得，则，化简得，解得，所以．（2）证明：，所以．15．在等比数列与等差数列中，，，，．（1）求数列与数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由，，，，可得，解得，，，．（2）由（1）知：，．16．已知数列的前项和为．（1）求这数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当且时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为．（2）由（1）知：，，，两式相减有，．
