【优化探究】2016高考数学一轮复习5-5数列的综合应用课时作业文一、选择题1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为()A.B．4C．2D.解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.答案：C2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝()A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2解析：设等比数列的公比为q，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，解得q＝1＋或q＝1－(舍去)．∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，故选C.答案：C3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750
0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值为()A．4B．5C．24D．25解析：由a－a＝1(n∈N*)知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则a＝1＋(n－1)×1＝n，由an<5得<5，∴n<25，故选C.答案：C5．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列解析：设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．答案：C二、填空题16．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，则an＝n，由题意知n<10%，∴n≥4.答案：47．已知数列{an}为等差数列，公差为d，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn<0的n的最小值为________．解析：根据Sn有最大值知，d<0，则a10>a11，由<－1知，a10>0>a11，且a11<－a10即a10＋a11<0，从而S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0，则使Sn<0的n的最小值为20.答案：208．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn＝________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析： y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，与x轴交点的横坐标为xn＝1－＝，由an＝lgxn得an＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案：－2三、解答题9．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解析：(1)设数列{an}的公差为d，则题意知解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.10．(2015年武汉模拟)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新．证明：需在第9年初对M更新．解析：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n...
