规范练(五)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0(n∈N*)，令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[规范解答及评分标准](1)∵a1>0,2Sn＝a＋an，∴当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∴an＝－an－1或an＝an－1＋1，∴an＝(－1)n－1或an＝n.(6分)(2)∵an>0，∴an＝n，bn＝＝.∴Tn＝＝＝－.(12分)2．(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．[规范解答及评分标准](1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点．∵FA＝FC，∴AC⊥FO.又FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF.(5分)(2)如图，设AC与BD相交于点O，连接FO，DF.∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形．∵O为BD的中点，∴FO⊥BD.又AC⊥FO，AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD.则OA，OB，OF两两互相垂直．以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．(7分)设AB＝2.∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，∴BD＝2，AC＝2.∵△DBF为等边三角形，∴OF＝.∴A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，∴AD＝(－，－1,0)，AF＝(－，0，)，AB＝(－，1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得平面ABF的一个法向量为n＝(1，，1)．设直线AD与平面ABF所成角为θ，(10分)则sinθ＝|cos〈AD，n〉|＝＝.即直线AB与平面ABF所成角的正弦值为.(12分)3．(12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.[规范解答及评分标准](1)补充完整表格如下表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100(2分)(2)因为K2＝≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(6分)(3)由(1)知，爱好该项运动的男、女生比例为40∶20＝2∶1，所以，按性别分层抽样，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，记选出3人中的女大学生人数为X，则X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X012P(10分)所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，直线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知直线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[规范解答及评分标准](1)∵直线C1的参数方程为∴直线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.(2分)∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0.∴x2＋4x－x2－y2＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(4分)(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2.由得t2－2t＋2－8a＝0.∴Δ＝(2)2－4(2－8a)>0，解得a>0.∴t1＋t2＝2，t1·t2＝2－8a.(6分)根据参数方程的几何意义可知|PA|＝|t1|，PB＝|t2|，由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有解得a＝>0，符合题意；(8分)当t1＝－2t2时，有解得a＝>0，符合题意．综上所述，a＝或a＝.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.[规范解答及评分标准](1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，(1分)即或或(2分)解得≤x<2或0
