第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．答案：D2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2B.C.D．3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.所以V＝x·3＝3，解得x＝3.答案：D3．(2017·衡阳第二次联考)如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为()A．6πB.π＋C．4πD．2π＋解析：此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S＝＋×2×2π＝4π.答案：C4．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3解析：由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为V＝×π×12×3×＋1×3×＝＋1.答案：A5．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()(导学号55410117)A．12πB.πC．8πD．4π解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π.答案：A二、填空题6．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.答案：7．球面上有不同的三点A、B、C，且AB＝BC＝AC＝3，球心到A，B，C所在截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为________．解析：设球的球心为O，△ABC的中心为O′，在等边△ABC中，边长AB＝3，则O′A＝××3＝.依题意，R2＝＋O′A2，得R＝2.所以S球＝4πR2＝16π.答案：16π8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．解析：设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R.又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝.答案：三、解答题9．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，故AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.10．(2017·沈阳质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(导学号55410118)(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积．(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.(2)解：因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝，所以VC1ABC＝VA1ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.11．(2017·贵阳调研)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE.因为BE∩BD＝B，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解：设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD知BE⊥BG，故△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.
