第17讲坐标系与参数方程1.已知直线l的参数方程为{x=1+12t,y=❑√3+❑√3t(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sinθ-❑√3ρcos2θ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.2.(2018安徽联考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2-2❑√2ρsin(θ-π4)-2=0,曲线C2的极坐标方程为θ=π4,C1与C2相交于A,B两点.(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点A,B的直角坐标;(2)若P为C1上的动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.3.(2018沈阳质量检测(一))设过平面直角坐标系的原点O的直线与圆(x-4)2+y2=16的一个交点为P,M为线段OP的中点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M的轨迹C的极坐标方程;(2)设点A的极坐标为(3,π3),点B在曲线C上,求△OAB面积的最大值.4.(2018福州质量检测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-π6)=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,π3),点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.5.(2018郑州第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(❑√2,π4),直线l的极坐标方程为ρcos(θ-π4)=a,且l过点A,曲线C1的参数方程为{x=2cosα,y=❑√3sinα(α为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值;(2)过点B(-1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|·|BN|的值.6.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.7.(2018武汉调研测试)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=4cosθ,y=2sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为{x=t+❑√3,y=2t-2❑√3(t为参数),直线l与曲线C交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)若F为曲线C的左焦点,求⃗FA·⃗FB的值.8.(2018潍坊统一考试)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ(ρ≥0,0≤θ<π).(1)写出曲线C1的极坐标方程,并求C1与C2交点的极坐标;(2)射线θ=β(π6≤β≤π3)与曲线C1,C2分别交于点A,B(A,B异于原点),求|OA||OB|的取值范围.答案全解全析1.解析(1) sinθ-❑√3ρcos2θ=0,∴ρsinθ-❑√3ρ2cos2θ=0,即y-❑√3x2=0.∴曲线C的直角坐标方程为y-❑√3x2=0.(2)将{x=1+12t,y=❑√3+❑√3t代入y-❑√3x2=0,得❑√3+❑√3t-❑√3(1+12t)2=0,即t1=t2=0,从而,交点坐标为(1,❑√3),∴交点的一个极坐标为(2,π3).2.解析(1)由ρ2-2❑√2ρsin(θ-π4)-2=0得ρ2-2❑√2ρsinθcosπ4+2❑√2ρcosθsinπ4-2=0,即x2+y2-2y+2x=0,即(x+1)2+(y-1)2=4,即C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=4,由C2:θ=π4得C2的直角坐标方程为x-y=0.联立,得{(x+1)2+(y-1)2=4,x-y=0,解得{x=1,y=1或{x=-1,y=-1.所以A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1).(2)设P(-1+2cosα,1+2sinα),不妨设A(-1,-1),B(1,1),则|PA|2+|PB|2=(2cosα)2+(2sinα+2)2+(2cosα-2)2+(2sinα)2=16+8sinα-8cosα=16+8❑√2sin(α-π4),所以|PA|2+|PB|2的取值范围为[16-8❑√2,16+8❑√2].3.解析(1)设M(ρ,θ),则P(2ρ,θ),则点P的直角坐标为(2ρcosθ,2ρsinθ),代入(x-4)2+y2=16得ρ=4cosθ,∴点M的轨迹C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(2)由题意得点A的直角坐标为(32,3❑√32),则直线OA的直角坐标方程为y=❑√3x,|OA|=3,由(1)易得轨迹C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,则圆心(2,0)到直线OA的距离d=❑√3,∴点B到直线OA的距离的最大值为❑√3+2,∴△OAB面积的最大值为12×(❑√3+2)×|OA|=❑√3+22×3=3+3❑√32.4.解析(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题设,知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=2cos(θ-π6),由|OQ|·|OP|=4,得C2...
