高考数学三轮冲刺 专题22 函数与方程、数形结合思想专项讲解与训练-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题22函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想思想解读应用角度1.函数思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决2.方程思想：是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决1.构造新函数或建立函数关系实现函数与不等式的相互转化，借助函数图象和性质解决相关问题，常涉及不等式的恒成立问题、比较大小问题2.利用二次函数或一元二次方程解决数列的通项及前n项和问题，常涉及最值问题或参数范围问题3.将解析几何中的范围、最值问题转化为求函数的值域、最值来解决4.利用列方程或建立函数表达式的方法解决立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算问题函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．【答案】2【解析】如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，所以2×＝3×2c，即2b2＝3ac，所以2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b，c的关系式，求值问题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．【对点训练】1．(2019·安徽师大附中、马鞍山二中联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是()A．20B．36C．24D．72【答案】C.【解析】由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得，解得，所以a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故选C.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．答案：－(2019·合肥模拟)直线x＝t分别与函数f(x)＝ex＋1的图象及g(x)＝2x－1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为()A．2B．3C．4－2ln2D．3－2ln2【答案】C【解析】因为f(x)＝ex＋1，g(x)＝2x－1，所以|AB|＝|ex＋1－(2x－1)|＝|ex－2x＋2|.令h(x)＝ex－2x＋2，则h′(x)＝ex－2.当x＜ln2时，h′(x)＜0；当x＞ln2时，h′(x)＞0，即h(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以h(x)在x＝ln2时取最小值，最小值为h(ln2)＝4－2ln2＞0，即|AB|的最小值为4－2ln2.由题意可知，|AB|即为A、B两点的纵坐标之差的绝对值，即|AB|＝|ex－2x＋2|，构造函数h(x)＝ex－2x＋2，从而将问题转化为函数h(x)的绝对值的最小值问题，利用导数求得h(x)min＝4－2ln2＞0，从而求出|AB|的最小值为4－2ln2.【对点训练】3.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1＝________m时，仓库的容积最大．答案：(3，＋∞)解析：函数y＝|x|为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m(x＞m)图象的对称轴为x＝m，且在对称轴右侧单调递增．故当x≤m时函数f(x)先减后增，当x＞m时函数f(x)单调递增，如图所示，要使f(x)＝b有三个不同的根，则必须满足m＞m2－2m2＋4m，解得m＞3.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是()A.B．C.D.【答案】B【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则B(－，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，代入圆的方程得＋＝，所以点M的轨迹方程为＋＝，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以|BM|max＝＋＝，所以|BM|＝.(1)本题利用数形结合思想，分析动点P和点M的轨迹是圆，再把|BM|2的最大值转化为点B到圆＋＝上任一点的距离的平方的最大值问题．(2)在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，数中寻形，可以给烦琐的运算以简便的解释，显得直...