高考数学二轮复习 三、大题分层，规范特训（一）基础得分，天天练 规范练6 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

规范练(六)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且＝＋5.(1)求{an}的通项公式；(2)若，求数列{bn}的前n项和Tn.[规范解答及评分标准](1)解法一：设等差数列{an}的公差为d. ＝＋5，∴－＝5，(2分)∴a10－a5＝10，∴5d＝10，解得d＝2.(4分)∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(5分)解法二：设等差数列{an}的公差为d. ＝＋5，∴－＝5，(2分)∴＝5，解得d＝2.(4分)∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(5分)(2)由(1)知，an＝2n，∴Sn＝＝n2＋n.(6分)(7分)∴Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n·2n＋2，①2Tn＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n－1)·2n＋2＋n·2n＋3，②(8分)①－②，得－Tn＝23＋24＋…＋2n＋2－n×2n＋3＝－n×2n＋3＝2n＋3－8－n×2n＋3＝(1－n)2n＋3－8.(11分)∴Tn＝(n－1)2n＋3＋8.(12分)2．(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2AB，Q为棱PC上一点．(1)若点Q是PC的中点，证明：BQ∥平面PAD；(2)PQ＝λPC，试确定λ的值使得二面角Q—BD—P的大小为60°.[规范解答及评分标准](1)证明：如图，取PD的中点M，连接AM，MQ. 点Q是PC的中点，∴MQ∥CD，MQ＝CD.(1分)又AB∥CD，AB＝CD，∴MQ∥AB，MQ＝AB，∴四边形ABQM是平行四边形．∴BQ∥AM.(3分)又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，∴BQ∥平面PAD.(4分)(2)由AD⊥平面PCD，PD⊥CD，可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)．(5分)设Q(x0，y0，z0)，则PQ＝(x0，y0，z0－1)，PC＝(0,2，－1)． PQ＝λPC，∴(x0，y0，z0－1)＝λ(0,2，－1)，∴Q(0,2λ，1－λ)．(7分)又易证BC⊥平面PBD，∴n＝(－1,1,0)是平面PBD的一个法向量．(8分)设平面QBD的法向量为m＝(x，y，z)，则即解得令y＝1，则m＝.(9分) 二面角Q—BD—P的大小为60°，∴|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得λ＝3±.(11分) 点Q在棱PC上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－.(12分)3．(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P(87.8