课时跟踪检测(四十九)抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选D由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B．C．D．解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝．3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：选C由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－．4．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，所以y＝4，所以|yP|＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°．直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6．即得A的坐标为(6,2)．∴|AB|＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12．答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a,0)C．D．解析：选C将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C．2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是()1A．x2＝2yB．x2＝yC．x2＝yD．x2＝y解析：选A由题意得，F，不妨设A，B，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A．3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值为()A．5B．4C．3D．2解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y＝，联立得：x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，所以x1＝，x2＝，所以＝＝3．4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B．C．10D．解析：选B依题意可知焦点F，准线方程为y＝－，延长PM交准线于点H(图略)．则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝＝10．所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故选B．5．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝xB．y2＝3xC．y2＝xD．y2＝9x解析：选B如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2所以2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，因为BD∥FG，所以＝，求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B．又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6．答案：67．(2017·广西质检)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)， |PA|＝|AB|，∴又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝．答案：8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y．当y＝－3时，x＝±．∴水位下降1米后，水面宽为2米．答案：29．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线...
