第5讲直线与圆锥曲线的位置关系(二)选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B对称问题1312轨迹问题1,2,3,6,8,9,101圆锥曲线与三角函数交汇问题5,11,125,6,8,10,13,14综合问题4,7,142,3,4,7,8,9,11,15,16巩固提高A一、选择题1.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为(B)(A)y=-2x(B)y=2x(C)y=2x-8(D)y=2x+4解析:设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R是直线l上的点,所以-y=2(2-x)-4.即y=2x.故选B.2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上),M在直线PP1上,且=2,则动点M的轨迹方程是(D)(A)4x2+16y2=1(B)16x2+4y2=1(C)+=1(D)+=1解析:由题意可知P是MP1的中点,设M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),则又+=4,故()2+y2=4,即+=1.故选D.3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是(B)(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)y2=4x(D)y2=-4x解析:根据||·||+·=0,得4+4(x-2)=0,化简得y2=-8x.故选B.4.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选D.5.设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0有两个不等实根为t1=0,t2=-tanθ(tanθ≠0),则过A,B两点的直线方程为y=-xtanθ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtanθ,所以直线y=-xtanθ与双曲线没有公共点.故选A.6.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(D)(A)抛物线(B)椭圆(C)双曲线的右支(D)一条直线解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.二、填空题8.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.解析:设A(x,y),则D(,),所以|CD|==3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y≠0.答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)9.已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O′的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向☉O和☉O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:设P(x,y),切点分别为A,B,由☉O′的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,知|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,即|OP|2-2=|O′P|2-6,所以x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.所以x=,故动点P的轨迹方程是x=.答案:x=10.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是.解析:如图,由题意知|QP|=|QF|.又|QP|=|QC|±|CP|,所以|QF|-|QC|=±|CP|,即||QF|-|QC||=|CP|=2,所以点Q的轨迹是以F,C为焦点,实轴长为2的双曲线,其方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.解析:因为a=b=,所以c=2.由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cos∠F1PF2==.答案:12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图,e=====-1,所以|PF2|=.又因为a-c<|PF2|
