第3讲空间角的计算专题复习检测A卷1．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉等于()A．B．C．－D．0【答案】D【解析】OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos〈OA，OC〉－|OA|·|OB|cos〈OA，OB〉＝|OA|·|OC|cos－|OA|·|OB|cos＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC⊥平面BB1D1D，所以AC＝(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量．又BC1＝(0,4,2)，所以cos〈BC1，AC〉＝＝＝，即直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为.3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，过P作PP′⊥平面ABC于P′，则P′为平面ABC的中心．连接AP′，延长交BC于点M，则∠P′AP即为PA与平面ABC所成的角．由V＝Sh，得h＝＝＝，即PP′＝.又AP′＝AM＝1，所以tan∠P′AP＝.所以∠P′AP＝.故选B．4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°【答案】C【解析】由条件知CA·AB＝0，AB·BD＝0，因为CD＝CA＋AB＋BD，所以|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉＝(2)2.所以cos〈CA，BD〉＝－，则〈CA，BD〉＝120°，即〈AC，BD〉＝60°.所以二面角的大小为60°.5．(2018年广东东莞模拟)如图，圆锥的底面直径AB＝2，高OC＝，D为底面圆周上的一点，∠AOD＝120°，则空间中两条直线AD与BC所成的角为()A．30°B．60°C．75°D．90°【答案】B【解析】如图，取弧AB中点E，以O为原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系．由题意得A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(0,0，)，D，则AD＝，BC＝(0，－1，)．设直线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝60°.故选B．6．(2019年上海改编)已知向量a＝(1,0,2)，b＝(2,1,0)，则a与b的夹角的余弦值为________．【答案】【解析】cosθ＝＝＝.7．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．【答案】90°【解析】不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，所以〈AB1，BM〉＝90°.8．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为________．【答案】45°【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E，∴AE＝.易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos〈AD，AE〉＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.9．(2017年新课标Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)求证：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值．【解析】(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF. E，F分别是PD，PA的中点，∴EF∥AD，EF＝AD.又 ∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD.又BC＝AD，∴EF＝BC，EF∥BC.∴四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，取AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，PC＝(1,0，－)，AB＝(1,0,0)．设M(x，y，z)(0＜x＜1)，则BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－)． BM与底面ABCD所成的角为45°，n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，∴|cos〈BM，n〉|＝＝，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，设PM＝λPC，则x＝λ，y＝1，z＝－λ.②由①②解得或(舍去)．设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则得∴可取m＝(0，－，2)，则cos〈m，n〉＝＝，∴二面角M－AB－D的余弦值为.1...
