题组层级快练(三十二)1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝B．|a·b|＝|a||b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a||b|答案B解析|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.答案C解析 a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝cos＝.选C.3．(2014·山东文)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－答案B解析根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．4．(2014·重庆理)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D.答案C解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.5．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝()A．1B．－1C．7D．－7答案C解析a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2××(－)＝7.故选C.6．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析 (a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝，cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.故选C.7．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于()A.B．2C．5D．25答案C解析由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5. |a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝20.∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.8．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：()p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，)；p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]；p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，)；p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]．其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4答案A解析|a＋b|>1⇔(a＋b)2>1，而(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ>1，∴cosθ>－，解得θ∈[0，)，同理，由|a－b|>1⇔(a－b)2>1，可得θ∈(，π]．9．已知向量a，b是非零向量，且满足a·b＝－|b|，则“|a|＝1”是“向量a与b反向”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|，∴|a|cos〈a，b〉＝－1.若|a|＝1，则cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，∴a与b反向．若a与b反向，则cos〈a，b〉＝－1，∴|a|＝1.10．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6答案A解析由于P1P2⊥P1P5，故其数量积是0，可排除C；P1P2与P1P6的夹角为π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30°＝a2，P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos60°＝a2.故选A.11．(2014·陕西文)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.答案解析利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0,2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.12．若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________.答案2解析方法一：设OB＝(x，y)，由|OA|＝|OB|，知＝.又OA·OB＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1，或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB|＝2；当x＝－3，y＝－1时，|AB|＝2，则|AB|＝2.方法二：由几何意义知，|AB|就是以OA，OB为邻边的正方形的对角线长，所以|AB|＝2.13．(2015·济南模拟)已知在△ABC中，向量AB与BC的夹角为，|AC|＝2，则|AB|的取值范围是________．答案(0,2)解析由向量AB与BC的夹角为，可得B＝.在△ABC中，由正弦定理，可知＝，所以|AB|＝＝＝4sinC.因为B＝，所以C∈(0，)，所以sinC∈(0，)，因此|AB|的取值范围为(0,2)．14．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．答案90°解析 AO＝(AB＋AC)，∴点O是△ABC中边BC的中点．∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB，AC〉＝90°.15．(2013·江西理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案...
