考点规范练6函数的单调性与最值一、基础巩固1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=2-xB.y=xC.y=log2xD.y=-1x答案B解析由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增答案B解析因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-b2a<0.故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.3.已知函数f(x)=❑√x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).4.已知函数f(x)={ax,x>1,(4-a2)x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)答案B解析由f(x)在R上是增函数,则有{a>1,4-a2>0,(4-a2)+2≤a,解得4≤a<8.5.函数f(x)=x1-x在()A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数答案C解析由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},f(x)=x1-x=11-x-1.又根据函数y=-1x的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-π2,π2)时,f(x)=ex+sinx,则()A.f(1)
f(1)>f(π-3).∴f(2)>f(1)>f(3).7.已知函数f(x)=log2x+11-x,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0答案B解析当x∈(1,+∞)时,y=log2x与y=11-x均为增函数,故f(x)=log2x+11-x在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,∴当x1∈(1,2)时,f(x1)f(2)=0.8.已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-12,2]D.(-12,2]答案D解析设y=f(x),令x2-ax+3a=t. y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.∴{a2≤1,12-a·1+3a>0,解得-120,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.答案[0,1)解析由题知g(x)={x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1,其函数图象如图所示,由图知g(x)的递减区间为[0,1).10.函数f(x)=(13)x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.答案3解析因为y=(13)x在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减.所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.11.已知函数y=2x+kx-2与y=log3(x-2)在区间(3,+∞)内有相同的单调性,则实数k的取值范围是.答案(-∞,-4)解析由题意知y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,所以它在区间(3,+∞)内是增函数.又y=2x+kx-2=2(x-2)+4+kx-2=2+4+kx-2,因为它在区间(3,+∞)内是增函数,所以4+k<0,解得k<-4.二、能力提升12.已知函数f(x)=(12)-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.1答案B解析 -x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴(12)-x2+2mx-m2-1≥2.∴f(x)的值域为[2,+∞). y1=(12)x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.13.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D解析由题意可得a>x-(12)x(x>0).令f(x)=x-(12)x,函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.14.已知函数f(x)是奇函数,且在R上为增函数,当0≤θ<π2时,f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是.答案(-∞,1)解析 f(x)是奇函数,∴f(msinθ)+f(1-m)>0可化为f(msinθ)>-f(1-m)=f(m-1).又f(x)在R上...
