专题32直线、平面垂直的判定与性质1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理。2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。热点题型一证明直线与平面垂直例1、【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】（1）取AC的中点O，连结DO，BO.因为AD=CD，所以AC⊥DO.又由于△ACD是正三角形，所以AC⊥BO.积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.【变式探究】已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点。(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC。证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE，【提分秘籍】证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理。(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”。(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”。(4)利用面面垂直的性质定理。【举一反三】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB。求证：PA⊥CD。热点题型二证明平面与平面垂直例2、如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD，求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA。【提分秘籍】面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决。提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。这是把面面垂直转化为线面垂直的依据。运用时要注意“平面内的直线”。【举一反三】如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF。热点题型三线面角与二面角的求法例3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点。(1)求PB和平面PAD所成的角的大小。(2)证明AE⊥平面PCD。(3)求二面角A－PD－C的正弦值。由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD。因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角。【提分秘籍】空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足。(2)二面角的求法：①直接法：根据概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点，②垂面法：如图1，过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角。图1图2③垂线法：如图2，过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角。【举一反三】如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。(1)求证：B1C∥平面A1BD。(2)求二面角A1－BD－A的大小。(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值。(2)由题知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，热点题型四垂直关系中的探索性问题例4、如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。(1)求证：AD⊥PB。(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论。【解析】(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD。 H是CG的中点，∴F是PC的中点，∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD。【提分秘籍】垂直...
