课下层级训练(二十七)平面向量的基本定理及向量的坐标运算[A级基础强化训练]1．(2019·河南郑州联考)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于()A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)【答案】B[2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]2．(2019·山东烟台月考)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝()A．6B．－6C．－D．【答案】B[因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以解得t＝－6.]3．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是()A．a＝bB．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同【答案】D[表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可．]4．(2019·山东济宁检测)在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝()A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b【答案】B[∵CD为角平分线，∴＝＝，又∵AB＝CB－CA＝a－b，∴AD＝AB＝a－b.∴CD＝CA＋AD＝b＋a－b＝a＋b.]5．(2019·贵州适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝()A．B．－C．D．－【答案】B[由已知得a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a＋λb与c共线，设a＋λb＝mc，所以解得]6．(2019·山东青岛调研)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝()A．－2B．2C．3D．－3【答案】D[向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，则a＋b＝(2，m＋1)，a∥(a＋b)，则－(m＋1)＝2，解得m＝－3.]7．(2019·广西贺州联考)已知向量AB＝(m，n)，BD＝(2,1)，AD＝(3,8)，则mn＝________.【答案】7[∵AD＝AB＋BD＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.]8．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD＝________.【答案】(－1，－1)[∵BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴AD＝BC＝(－1，－1)．]9．(2019·河南三市联考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是__________.【答案】[AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝.]10．如图，已知□ABCD的边BC，CD上的中点分别是M，N，且AM＝e1，AN＝e2，若BC＝xe2＋ye1(x，y∈R)，则x＋y＝________.【答案】[设AD＝a，AB＝b，则BC＝a，CD＝－b.由题意得解得∴BC＝e2－e1.故x＝，y＝－，∴x＋y＝.][B级能力提升训练]11．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为()A．B．－C．D．－【答案】B[设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.]12．(2018·山东泰安期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝()A．－AB＋ADB．AB－ADC．AB－ADD．－AB＋AD【答案】A[BF＝AF－AB＝AE－AB＝(AB＋BE)－AB＝－AB＋×BC＝－AB＋(AC－AB)＝－AB＋(AD＋DC)＝－AB＋AD＋×AB＝－AB＋AD.]13．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________.【答案】1[由题意知OA＝(－3,0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝，即－＝－，所以λ＝1.]14．(2019·山东济南月考)如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.【答案】[建立如图所示平面直角坐标系，设小方格的边长为1.则向量a＝(1,2)，b＝(2，－1)，c＝(3,4)，∵c＝xa＋yb，即解得∴x＋y＝＋＝.]15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝AB＋AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，求x，y的值．【答案】解(1)由AM＝AB＋AC，可知M，B，C三点共线．如图，设BM＝λBC，则AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC，所以λ＝，所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)由BO＝xBM＋yBN，得BO＝xBM＋BA，BO＝BC＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒
