面面垂直的性质定理的应用高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（2017新课标全国Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若的面积为，求四棱锥的体积.【参考答案】（1）见试题解析；（2）.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以.因为的面积为，所以，解得x=2−（舍去），或x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P−ABCD的体积.【解题必备】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．学霸推荐1．如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥的体积．2．如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1,AC=AA1=AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H为棱CC1的中点,D为BB1的中点.(1)求证:A1D⊥平面AB1H;(2)若AB=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.1．【解析】（1）在中，∵，∴，∴又∵平面平面，平面平面，，∴平面又平面，∴平面平面.2．【解析】(1)如图,连接AC1,因为为正三角形,H为棱CC1的中点,所以AH⊥CC1,从而AH⊥AA1,又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,AH⊂平面AA1C1C,所以AH⊥平面ABB1A1,又A1D⊂平面ABB1A1,所以AH⊥A1D.①设AB=a,因为AC=AA1=AB,所以AC=AA1=2a,DB1=a,.因为AB⊥AA1,所以平行四边形ABB1A1为矩形,所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°,所以,所以∠B1AA1=∠DA1B1,又∠DA1B1+∠AA1D=90°,所以∠B1AA1+∠AA1D=90°,故A1D⊥AB1.②由①②及AB1∩AH=A,可得A1D⊥平面AB1H.经计算AG=,A1B1·A1C1=×2=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=·AG=.方法二：如图,取AA1的中点M,连接C1M,则C1M∥AH,所以C1M⊥平面ABB1A1.因为AB=,所以AC=AA1=2,C1M=A1C1sin60°=2×,所以·C1M=×2×,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=3.
